Упр.3.9 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Решите неравенство:

1. $$\left(\frac{3}{7}\right)^{x^2-x}<\frac{9}{49}$$
2. $$0{,}3^{x^2-4}/(x-1)>1$$
3. $$4\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{5x^2}<\left(\frac{1}{8}\right)^{-3x}$$
4. $$\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{3}\right)>x-1>9^{-0{,}5}$$

1. $$\left(\frac{3}{7}\right)^{x^2-x} < \frac{9}{49}=\left(\frac{3}{7}\right)^2.$$
   Так как $$0<\frac{3}{7}<1,$$ получаем
   $$x^2-x>2.$$
   Тогда
   $$x^2-x-2>0,$$
   $$(x+1)(x-2)>0.$$
   Отсюда
   $$x<-1 \quad \text{или} \quad x>2.$$

2. $$4\cdot \left(\frac12\right)^{5x^2} \le \left(\frac18\right)^{-3x}.$$
   Представим всё в виде степеней двойки:
   $$2^2\cdot 2^{-5x^2}\le 2^{-3(-3x)}=2^{9x}.$$
   Тогда
   $$2-5x^2\le 9x,$$
   $$5x^2+9x-2\ge 0.$$
   Найдём корни:
   $$D=9^2-4\cdot 5\cdot(-2)=81+40=121,$$
   $$x_{1,2}=\frac{-9\pm 11}{10}.$$
   Получаем
   $$x_1=-2,\quad x_2=0{,}2.$$
   Так как ветви параболы направлены вверх, то
   $$x\le -2 \quad \text{или} \quad x\ge 0{,}2.$$

3. $$0{,}3^{\frac{x^2-4}{x-1}} > 1.$$
   Поскольку $$0<0{,}3<1,$$ это равносильно
   $$\frac{x^2-4}{x-1}<0.$$
   Разложим числитель на множители:
   $$\frac{(x-2)(x+2)}{x-1}<0.$$
   Критические точки: $$x=-2,\;1,\;2.$$
   По знакам дроби получаем
   $$x<-2 \quad \text{или} \quad 1<x<2.$$

4. $$\left(\tan\frac{\pi}{3}\right)^{x-1} > 9^{-0{,}5}.$$
   Так как $$\tan\frac{\pi}{3}=\sqrt{3},$$ а
   $$9^{-0{,}5}=(3^2)^{-0{,}5}=3^{-1},$$
   то
   $$(\sqrt{3})^{x-1} > 3^{-1}.$$
   Запишем через основание $$3$$:
   $$3^{\frac{x-1}{2}} > 3^{-1}.$$
   Поскольку основание больше 1, сравниваем показатели:
   $$\frac{x-1}{2}>-1.$$
   Тогда
   $$x>-1.$$

Ответ

1) $$(-\infty;\,-1)\cup(2;\,+\infty)$$;
2) $$(-\infty;\,-2]\cup[0{,}2;\,+\infty)$$;
3) $$(-\infty;\,-2)\cup(1;\,2)$$;
4) $$(-1;\,+\infty)$$.