Упр.3.9 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

Решите неравенство:

1. $$\left(\frac{3}{7}\right)^{x^2-x}<\frac{9}{49}$$
2. $$0{,}3^{\frac{x^2-4}{x-1}}>1$$
3. $$4\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{5x^2}?\left(\frac{1}{8}\right)^{-3x}$$
4. $$\operatorname{tg}\left(\frac{?}{3}\right)^{x-1}>9^{-0{,}5}$$

1. $$\left(\frac{3}{7}\right)^{x^2-x} < \frac{9}{49}=\left(\frac{3}{7}\right)^2.$$
   Так как $$0<\frac{3}{7}<1,$$ то сравниваем показатели с противоположным знаком:
   $$x^2-x>2.$$
   Тогда
   $$x^2-x-2>0 \\ (x+1)(x-2)>0.$$
   Отсюда
   $$x<-1 \text{ или } x>2.$$

2. $$4\cdot \left(\frac12\right)^{5x^2}\le \left(\frac18\right)^{-3x}.$$
   Представим всё в виде степеней двойки:
   $$2^2\cdot 2^{-5x^2}\le 2^{-3(-3x)}=2^{9x}.$$
   Тогда
   $$2-5x^2\le 9x,$$
   или
   $$5x^2+9x-2\ge 0.$$
   Найдём корни:
   $$D=9^2+4\cdot 5\cdot 2=121,\quad x_1=\frac{-9-11}{10}=-2,\quad x_2=\frac{-9+11}{10}=0{,}2.$$
   Следовательно,
   $$x\le -2 \text{ или } x\ge 0{,}2.$$

3. $$0{,}3^{\frac{x^2-4}{x-1}}>1.$$
   Так как $$0<0{,}3<1,$$ то неравенство равносильно
   $$\frac{x^2-4}{x-1}<0,\qquad x\ne 1.$$
   Разложим на множители:
   $$\frac{(x-2)(x+2)}{x-1}<0.$$
   По знакам получаем:
   $$x<-2 \text{ или } 1<x<2.$$

4. $$\left(\tg\frac{\pi}{3}\right)^{x-1}>9^{-0{,}5}.$$
   Так как $$\tg\frac{\pi}{3}=\sqrt{3},$$ а
   $$9^{-0{,}5}=\frac{1}{\sqrt{9}}=\frac13=3^{-1},$$
   то
   $$(\sqrt{3})^{x-1}>3^{-1}.$$
   Переходим к основанию $$3$$:
   $$3^{\frac{x-1}{2}}>3^{-1}.$$
   Основание больше 1, значит сравниваем показатели:
   $$\frac{x-1}{2}>-1.$$
   Тогда
   $$x>-1.$$

Ответ

1) $$(-\infty;-1)\cup(2;+\infty)$$;
2) $$(-\infty;-2]\cup[0{,}2;+\infty)$$;
3) $$(-\infty;-2)\cup(1;2)$$;
4) $$(-1;+\infty)$$.