Упр.3.8 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

Решите неравенства:

1. $$\left(\frac{1}{4}\right)^{6x-x^2}>\left(\frac{1}{4}\right)^5$$;
2. $$125\cdot\left(\frac{1}{5}\right)^{3x^2}\mathord{?}\left(\frac{1}{25}\right)^{-4x}$$;
3. $$0{,}6^{\frac{x+5}{x^2-9}}<1$$;
4. $$\left(\sin\frac{?}{6}\right)^{x-0{,}5}>\sqrt{2}$$;
5. $$\left(\frac{2}{3}\right)^{\frac{4}{x}-3}\mathord{?}\frac{9}{4}$$;
6. $$4\cdot0{,}5^{x(x+3)}\mathord{?}0{,}25^{2x}$$.

1. $$\left(\frac14\right)^{6x-x^2}>\left(\frac14\right)^5$$
   
   Так как $$0<\frac14<1,$$ то показатели сравниваем с противоположным знаком:
   $$6x-x^2<5,$$
   $$x^2-6x+5>0,$$
   $$\left(x-1\right)\left(x-5\right)>0.$$
   Отсюда
   $$x<1 \text{ или } x>5.$$
2. $$125\cdot\left(\frac15\right)^{3x^2}\ge \left(\frac1{25}\right)^{-4x}$$
   $$5^3\cdot 5^{-3x^2}\ge 5^{-2\cdot(-4x)}$$
   $$3-3x^2\ge 8x,$$
   $$3x^2+8x-3\le 0.$$
   Корни уравнения $$3x^2+8x-3=0$$:
   $$D=8^2-4\cdot 3\cdot(-3)=64+36=100,$$
   $$x_1=\frac{-8-10}{6}=-3,\qquad x_2=\frac{-8+10}{6}=\frac13.$$
   Тогда
   $$\left(x+3\right)\left(x-\frac13\right)\le 0,$$
   откуда
   $$-3\le x\le \frac13.$$
3. $$0{,}6^{\frac{x+5}{x^2-9}}<1$$ Так как $$0<0{,}6<1,$$ то нужно $$\frac{x+5}{x^2-9}>0.$$ Разложим знаменатель: $$x^2-9=\left(x-3\right)\left(x+3\right).$$ Получаем $$\frac{x+5}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}>0.$$ Критические точки: $$x=-5,\,-3,\,3.$$ По знакам дроби: $$x\in(-5;-3)\cup(3;+\infty).$$
4. $$\left(\sin\frac{\pi}{6}\right)^{x-0{,}5}>\sqrt2$$
   $$\left(\frac12\right)^{x-0{,}5}>\left(\frac12\right)^{-0{,}5}$$
   Так как $$0<\frac12<1,$$ то
   $$x-0{,}5<-0{,}5,$$
   $$x<0.$$
5. $$\left(\frac23\right)^{\frac4x-3}\le \frac94$$
   $$\frac94=\left(\frac23\right)^{-2}.$$
   Тогда
   $$\left(\frac23\right)^{\frac4x-3}\le \left(\frac23\right)^{-2}.$$
   Так как $$0<\frac23<1,$$ получаем
   $$\frac4x-3\ge -2,$$
   $$\frac4x\ge 1,$$
   $$\frac{4-x}{x}\ge 0.$$
   Отсюда
   $$0<x\le 4.$$
6. $$4\cdot 0{,}5^{x(x+3)}\ge 0{,}25^{2x}$$
   $$2^2\cdot \left(\frac12\right)^{x^2+3x}\ge \left(\frac14\right)^{2x}$$
   $$2^2\cdot 2^{-(x^2+3x)}\ge 2^{-4x}$$
   $$2-x^2-3x\ge -4x,$$
   $$x^2-x-2\le 0,$$
   $$\left(x-2\right)\left(x+1\right)\le 0.$$
   Следовательно,
   $$-1\le x\le 2.$$

Ответ

1) $$(-\infty;1)\cup(5;+\infty)$$;
2) $$\left[-3;\frac13\right]$$;
3) $$(-5;-3)\cup(3;+\infty)$$;
4) $$(-\infty;0)$$;
5) $$\left(0;4\right]$$;
6) $$[-1;2]$$.