Упр.3.6 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1. Найдите область определения функции: 1) $$f(x)=\sqrt{1-\left(\frac{1}{2}\right)^x}$$; 2) $$f(x)=\frac{3}{\sqrt{3^{x+2}-27}}$$.

1. Для функции $$f(x)=\sqrt{1-\left(\frac12\right)^x}$$ подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

   $$1-\left(\frac12\right)^x \ge 0$$

   $$\left(\frac12\right)^x \le 1$$

   Так как $$0<\frac12<1,$$ то неравенство выполняется при

   $$x \ge 0.$$

   Следовательно,

   $$D(f)=[0;+\infty).$$

2. Для функции $$f(x)=\frac{3}{\sqrt{3^{x+2}-27}}$$ подкоренное выражение в знаменателе должно быть строго положительным:

   $$3^{x+2}-27>0$$

   $$3^{x+2}>27=3^3$$

   Так как основание $$3>1,$$ получаем

   $$x+2>3,$$

   $$x>1.$$

   Следовательно,

   $$D(f)=(1;+\infty).$$

Ответ

1) $$[0;+\infty)$$; 2) $$(1;+\infty).$$