Упр.3.4 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Сколько целых решений имеет неравенство:

1. $$0{,}2<5^{x+4}<125$$

   $$\frac{1}{36}<6^{3-x}<6$$

   $$2<0{,}5^{x-1}<32$$

1. $$0{,}2<5^{x+4}<125$$

   Представим числа в виде степеней числа $$5$$:

   $$5^{-1}<5^{x+4}<5^3$$

   Так как основание $$5>1$$, сравниваем показатели:

   $$-1<x+4<3$$

   $$-5<x<-1$$

   Целые значения $$x$$: $$-4,\,-3,\,-2$$. Их три.

2. $$\frac{1}{36}<6^{3-x}<6$$

   Представим числа в виде степеней числа $$6$$:

   $$6^{-2}<6^{3-x}<6^1$$

   Так как основание $$6>1$$, сравниваем показатели:

   $$-2<3-x<1$$

   $$-5<-x<-2$$

   $$2<x<5$$

   Целые значения $$x$$: $$3,\,4$$. Их два.

3. $$2<0{,}5^{x-1}<32$$

   Запишем основание как дробь:

   $$2<\left(\frac12\right)^{x-1}<32$$

   Представим числа в виде степеней двойки:

   $$2^1<2^{-(x-1)}<2^5$$

   Так как основание $$2>1$$, сравниваем показатели:

   $$1<-(x-1)<5$$

   $$1<-x+1<5$$

   $$0<-x<4$$

   $$-4<x<0$$

   Целые значения $$x$$: $$-3,\,-2,\,-1$$. Их три.

Ответ

1) $$3$$; 2) $$2$$; 3) $$3$$.