Упр.3.26 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

1. Найдите область определения функции $$y=\sqrt{\frac{7-x}{\sqrt{4x^2-19x+12}}}$$.

Чтобы функция

$$y=\sqrt{\frac{7-x}{\sqrt{4x^2-19x+12}}}$$

была определена, нужно выполнить два условия:

1. подкоренное выражение в знаменателе должно быть положительным:
   $$4x^2-19x+12>0;$$
2. числитель дроби под корнем должен быть неотрицательным:
   $$7-x\ge 0,$$
   то есть
   $$x\le 7.$$

Решим неравенство

$$4x^2-19x+12>0.$$

Найдём корни квадратного трёхчлена:

$$D=(-19)^2-4\cdot 4\cdot 12=361-192=169,$$

$$x_{1,2}=\frac{19\pm 13}{8}.$$

Тогда

$$x_1=\frac{6}{8}=\frac34,\qquad x_2=\frac{32}{8}=4.$$

Так как старший коэффициент положителен, то

$$4x^2-19x+12>0 \quad \text{при} \quad x<\frac34 \ \text{или}\ x>4.$$

Пересечём это с условием $$x\le 7.$$ Получаем:

$$D(y)=\left(-\infty;\frac34\right)\cup(4;7].$$

Ответ

$$\left(-\infty;\frac34\right)\cup(4;7]$$