Упр.3.25 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Полонский 11 класс, Просвещение: 3.25. Решите уравнение (x^2-5x+7)^2-(x-2)(x-3)=1.

Преобразуем уравнение:

$$ (x^2-5x+7)^2-(x-2)(x-3)=1 $$

Так как $$ (x-2)(x-3)=x^2-5x+6, $$ получаем

$$ (x^2-5x+7)^2-(x^2-5x+6)=1. $$

Обозначим $$y=x^2-5x+7$$. Тогда $$x^2-5x+6=y-1$$, и уравнение принимает вид

$$ y^2-(y-1)=1 $$

$$ y^2-y+1=1 $$

$$ y^2-y=0 $$

$$ y(y-1)=0. $$

Отсюда:

$$ y=0 \quad \text{или} \quad y=1. $$

1) Если $$y=0$$, то

$$ x^2-5x+7=0. $$

Дискриминант:

$$ D=25-28=-3<0. $$

Решений нет.

2) Если $$y=1$$, то

$$ x^2-5x+7=1 $$

$$ x^2-5x+6=0 $$

$$ (x-2)(x-3)=0. $$

Тогда

$$ x=2 \quad \text{или} \quad x=3. $$

Ответ

$$2; 3$$