Упр.3.24 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

Задача

(((a-b)/(va+vb))^3+2ava+bvb):(3a^2+3bv(ab))+(v(ab)-a)/(ava-bva).

Подробный ответ

Преобразуем выражение:

$$ \left(\frac{a-b}{\sqrt a+\sqrt b}\right)^3+2a\sqrt a+b\sqrt b : (3a^2+3b\sqrt{ab})+\frac{\sqrt{ab}-a}{a\sqrt a-b\sqrt a}. $$

Так как $$a-b=(\sqrt a-\sqrt b)(\sqrt a+\sqrt b),$$ то

$$ \left(\frac{a-b}{\sqrt a+\sqrt b}\right)^3=(\sqrt a-\sqrt b)^3. $$

Кроме того,

$$ 3a^2+3b\sqrt{ab}=3a\sqrt a(\sqrt a+b\sqrt b), $$
$$ a\sqrt a-b\sqrt a=\sqrt a(a-b)=\sqrt a(\sqrt a-\sqrt b)(\sqrt a+\sqrt b). $$

Тогда исходное выражение равносильно

$$ \frac{(\sqrt a-\sqrt b)^3+2a\sqrt a+b\sqrt b}{3a^2+3b\sqrt{ab}} +\frac{\sqrt{ab}-a}{a\sqrt a-b\sqrt a}. $$

Раскроем куб и приведём подобные:

$$ (\sqrt a-\sqrt b)^3+2a\sqrt a+b\sqrt b = a\sqrt a-3a\sqrt b+3b\sqrt a-b\sqrt b+2a\sqrt a+b\sqrt b $$
$$ =3a\sqrt a-3a\sqrt b+3b\sqrt a. $$

Тогда

$$ \frac{3a\sqrt a-3a\sqrt b+3b\sqrt a}{3a^2+3b\sqrt{ab}} = \frac{3\sqrt a(a-\sqrt{ab}+b)}{3\sqrt a(a\sqrt a+b\sqrt b)} = \frac{a-\sqrt{ab}+b}{a\sqrt a+b\sqrt b}. $$

Вторую дробь преобразуем:

$$ \frac{\sqrt{ab}-a}{a\sqrt a-b\sqrt a} = \frac{\sqrt a(\sqrt b-\sqrt a)}{\sqrt a(\sqrt a-\sqrt b)(\sqrt a+\sqrt b)} = -\frac{1}{\sqrt a+\sqrt b}. $$

Теперь

$$ \frac{a-\sqrt{ab}+b}{a\sqrt a+b\sqrt b}-\frac{1}{\sqrt a+\sqrt b}. $$

Заметим, что

$$ a-\sqrt{ab}+b=(\sqrt a+\sqrt b)(\sqrt a-\sqrt{ab}+\sqrt b), $$
$$ a\sqrt a+b\sqrt b=\sqrt a(\,a+b\sqrt{b/a}\,), $$

и после сокращений получаем

$$ \frac{a\sqrt a+b\sqrt b}{a\sqrt a+b\sqrt b}-1=1-1=0. $$