Упр.3.23 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Решите неравенство:

1. $$3\cdot16^x+2\cdot81^x-5\cdot36^x<0$$;
2. $$2\cdot49^{\frac{1}{x}}-9\cdot14^{\frac{1}{x}}+7\cdot4^{\frac{1}{x}}>0$$.

1) Преобразуем степени к основанию $$4$$:

$$3\cdot 16^x+2\cdot 81^x-5\cdot 36^x<0$$
$$3\cdot 4^{2x}-5\cdot 6^{2x}+2\cdot 9^{2x}<0$$
$$3\left(\frac{4}{9}\right)^{2x}-5\left(\frac{4}{9}\right)^x+2<0.$$

Обозначим $$t=\left(\frac{4}{9}\right)^x$$, тогда $$t>0$$ и получаем:

$$3t^2-5t+2<0$$
$$D=25-24=1$$
$$t_1=\frac{5-1}{6}=\frac{2}{3},\qquad t_2=\frac{5+1}{6}=1.$$

Так как ветви параболы направлены вверх, то

$$\frac{2}{3}<t<1.$$

Возвращаемся к переменной $$x$$:

$$\frac{2}{3}<\left(\frac{4}{9}\right)^x<1.$$

Так как $$0<\frac{4}{9}<1$$, функция $$\left(\frac{4}{9}\right)^x$$ убывает, поэтому

$$0<x<\frac12.$$

2) Рассмотрим неравенство

$$2\cdot 49^{1/x}-9\cdot 14^{1/x}+7\cdot 4^{1/x}>0.$$

Преобразуем основания:

$$2\cdot 7^{2/x}-9\cdot 14^{1/x}+7\cdot 2^{2/x}>0.$$

Обозначим $$t=\left(\frac{7}{2}\right)^{1/x}$$. Тогда

$$2t^2-9t+7>0.$$

$$D=81-56=25$$
$$t_1=\frac{9-5}{4}=1,\qquad t_2=\frac{9+5}{4}=\frac72.$$

Следовательно,

$$t<1 \quad \text{или} \quad t>\frac72.$$

Так как $$t=\left(\frac72\right)^{1/x}$$, получаем:

$$\left(\frac72\right)^{1/x}<1 \iff \frac1x<0 \iff x<0,$$

а также

$$\left(\frac72\right)^{1/x}>\frac72 \iff \frac1x>1 \iff 0<x<1.$$

Учитывая, что $$x\neq 0$$, имеем:

$$x\in(-\infty;0)\cup(0;1].$$

Ответ

1) $$\left(0;\frac12\right)$$; 2) $$(-\infty;0)\cup(0;1]$$.