Упр.3.23 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) 3·16^x+2·81^x-5·36^x < 0; 2) 2·49^(1/x)-9·14^(1/x)+7·4^(1/x) > 0.

1) Преобразуем степени к основанию $$4$$:

$$ 3\cdot 16^x+2\cdot 81^x-5\cdot 36^x<0 $$
$$ 3\cdot 4^{2x}-5\cdot 6^{2x}+2\cdot 9^{2x}<0 $$
$$ 3\left(\frac{4}{9}\right)^{2x}-5\left(\frac{4}{9}\right)^x+2<0. $$

Обозначим $$t=\left(\frac{4}{9}\right)^x$$, тогда $$t>0$$ и получаем:

$$ 3t^2-5t+2<0 $$
$$ D=25-24=1 $$
$$ t_1=\frac{5-1}{6}=\frac{2}{3},\qquad t_2=\frac{5+1}{6}=1. $$

Так как ветви параболы направлены вверх, то

$$ \frac{2}{3}<t<1. $$

Возвращаемся к переменной $$x$$:

$$ \frac{2}{3}<\left(\frac{4}{9}\right)^x<1. $$

Так как $$0<\frac{4}{9}<1$$, функция $$\left(\frac{4}{9}\right)^x$$ убывает, поэтому

$$ 0<x<\frac12. $$

2) Рассмотрим неравенство

$$ 2\cdot 49^{1/x}-9\cdot 14^{1/x}+7\cdot 4^{1/x}>0. $$

Преобразуем основания:

$$ 2\cdot 7^{2/x}-9\cdot 14^{1/x}+7\cdot 2^{2/x}>0. $$

Обозначим $$t=\left(\frac{7}{2}\right)^{1/x}$$. Тогда

$$ 2t^2-9t+7>0. $$

$$ D=81-56=25 $$
$$ t_1=\frac{9-5}{4}=1,\qquad t_2=\frac{9+5}{4}=\frac72. $$

Следовательно,

$$ t<1 \quad \text{или} \quad t>\frac72. $$

Так как $$t=\left(\frac72\right)^{1/x}$$, получаем:

$$ \left(\frac72\right)^{1/x}<1 \iff \frac1x<0 \iff x<0, $$

а также

$$ \left(\frac72\right)^{1/x}>\frac72 \iff \frac1x>1 \iff 0<x<1. $$

Учитывая, что $$x\neq 0$$, имеем:

$$ x\in(-\infty;0)\cup(0;1]. $$

Ответ

1) $$\left(0;\frac12\right)$$; 2) $$(-\infty;0)\cup(0;1]$$.