Упр.3.23 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

Задача

1) 3·16^x+2·81^x-5·36^x < 0; 2) 2·49^(1/x)-9·14^(1/x)+7·4^(1/x)?0.

Подробный ответ

$$3\cdot 16^x+2\cdot 81^x-5\cdot 36^x<0$$
Представим степени через основание $$\frac49$$:
$$3\cdot 4^{2x}-5\cdot 36^x+2\cdot 9^{2x}<0$$
$$3\left(\frac49\right)^{2x}-5\left(\frac49\right)^x+2<0$$
Обозначим $$t=\left(\frac49\right)^x$$, тогда $$t>0$$ и получаем:
$$3t^2-5t+2<0$$
$$D=25-24=1$$
$$t_1=\frac{5-1}{6}=\frac23,\qquad t_2=\frac{5+1}{6}=1$$
Так как коэффициент при $$t^2$$ положительный, то:
$$\frac23<t<1$$
Возвращаемся к переменной $$x$$:
$$\frac23<\left(\frac49\right)^x<1$$
Так как $$0<\frac49<1$$, функция убывает, значит:
$$0<x<\frac12$$
$$2\cdot 49^{1/x}-9\cdot 14^{1/x}+7\cdot 4^{1/x}\ge 0$$
Преобразуем основания:
$$2\cdot 7^{2/x}-9\cdot 14^{1/x}+7\cdot 2^{2/x}\ge 0$$
$$2\left(\frac72\right)^{2/x}-9\left(\frac72\right)^{1/x}+7\ge 0$$
Обозначим $$t=\left(\frac72\right)^{1/x}$$, тогда $$t>0$$ и:
$$2t^2-9t+7\ge 0$$
$$D=81-56=25$$
$$t_1=\frac{9-5}{4}=1,\qquad t_2=\frac{9+5}{4}=\frac72$$
Так как коэффициент при $$t^2$$ положительный, то:
$$t\le 1 \quad \text{или} \quad t\ge \frac72$$
Возвращаемся к $$x$$:
$$\left(\frac72\right)^{1/x}\le 1 \quad \text{или} \quad \left(\frac72\right)^{1/x}\ge \frac72$$
Так как $$\frac72>1$$, получаем:
$$\frac1x\le 0 \quad \text{или} \quad \frac1x\ge 1$$
Решаем с учётом $$x\ne 0$$:
$$x<0 \quad \text{или} \quad 0<x\le 1$$