Упр.3.21 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Решите неравенство $$3^{vx}-3^{2-vx}<8$$.

Положим $$t=3^{\sqrt{x}}.$$ Тогда $$3^{2-\sqrt{x}}=\frac{9}{3^{\sqrt{x}}}=\frac{9}{t}.$$

Неравенство принимает вид

$$t-\frac{9}{t}\le 8.$$

Так как $$t>0,$$ умножим обе части на $$t$$:

$$t^2-9\le 8t,$$

$$t^2-8t-9\le 0.$$

Решим квадратное неравенство:

$$t^2-8t-9=0,$$

$$D=64+36=100,$$

$$t_{1,2}=\frac{8\pm 10}{2}.$$

Получаем корни:

$$t_1=-1,\quad t_2=9.$$

Так как парабола направлена вверх, то

$$-1\le t\le 9.$$

С учётом условия $$t>0$$ имеем

$$0<t\le 9.$$

Возвращаясь к переменной $$x$$, получаем:

$$3^{\sqrt{x}}\le 9=3^2,$$

$$\sqrt{x}\le 2,$$

$$0\le x\le 4.$$

Область определения: $$x\ge 0.$$ Она уже учтена в найденном промежутке.

Ответ

$$[0;4]$$