Упр.3.20 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Полонский 11 класс, Просвещение: 3.20. Решите неравенство 2^(vx)-2^(1-vx)?1.

Положим $$t=2^{\sqrt{x}}.$$ Тогда $$t>0$$, а

$$2^{1-\sqrt{x}}=\frac{2}{2^{\sqrt{x}}}=\frac{2}{t}.$$

Получаем неравенство

$$t-\frac{2}{t}\le 1.$$

Умножим на $$t>0$$:

$$t^2-2\le t,$$

$$t^2-t-2\le 0,$$

$$\left(t-2\right)\left(t+1\right)\le 0.$$

Так как $$t>0,$$ то $$t+1>0,$$ значит

$$t-2\le 0,$$

$$t\le 2.$$

Возвращаемся к переменной $$x$$:

$$2^{\sqrt{x}}\le 2,$$

$$\sqrt{x}\le 1,$$

$$x\le 1.$$

С учётом области определения $$x\ge 0$$ получаем

$$x\in[0;1].$$

Ответ

$$[0;1]$$