Упр.3.19 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Найдите множество решений неравенства:

1. $$3^{x+1}-2\cdot3^{1-x}>7$$;
2. $$4^{1-x}-0{,}5^{1-2x}>1$$.

1. $$3^{x+1}-2\cdot 3^{1-x}>7$$

   Преобразуем выражение:

   $$3\cdot 3^x-2\cdot 3\cdot 3^{-x}-7>0$$

   $$3^{2x+1}-2\cdot 3^{1}+?$$

   Удобно сделать замену $$t=3^x$$, тогда $$t>0$$ и

   $$3t-\frac{6}{t}>7$$

   Умножим на $$t>0$$:

   $$3t^2-7t-6>0$$

   Решим квадратное неравенство. Найдём корни уравнения:

   $$3t^2-7t-6=0$$

   $$D=49+72=121$$

   $$t_{1,2}=\frac{7\pm 11}{6}$$

   $$t_1=-\frac{2}{3},\quad t_2=3$$

   Так как $$t>0$$, получаем:

   $$t>3$$

   $$3^x>3$$

   $$x>1$$

2. $$4^{1-x}-0{,}5^{\,1-2x}>1$$

   Представим всё через основание $$2$$:

   $$2^{2-2x}-2^{-(1-2x)}>1$$

   Так как $$0{,}5=2^{-1}$$, то

   $$2^{2-2x}-2^{2x-1}>1$$

   Положим $$t=2^x$$, тогда $$t>0$$. Получаем:

   $$\frac{4}{t^2}-\frac{t^2}{2}>1$$

   Умножим на $$2t^2>0$$:

   $$8-t^4-2t^2>0$$

   $$t^4+2t^2-8<0$$

   Сделаем замену $$u=t^2$$, где $$u>0$$:

   $$u^2+2u-8<0$$

   $$u^2+2u-8=(u+4)(u-2)$$

   Тогда

   $$-4<u<2$$

   С учётом $$u>0$$ имеем:

   $$0<u<2$$

   $$2^{2x}<2$$

   $$2x<1$$

   $$x<\frac12$$

Ответ

1) $$\left(1;+\infty\right)$$; 2) $$\left(-\infty;\frac12\right)$$.