Упр.3.19 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) 3^(x+1)-2·3^(1-x) > 7; 2) 4^(1-x)-0,5^(1-2x)?1.

1) Рассмотрим неравенство $$3^{x+1}-2\cdot 3^{1-x}>7.$$

Преобразуем его:

$$3\cdot 3^x-2\cdot 3\cdot 3^{-x}-7>0,$$

$$3\cdot 3^{2x}-7\cdot 3^x-6>0.$$

Обозначим $$t=3^x,$$ тогда $$t>0$$ и получаем квадратное неравенство

$$3t^2-7t-6>0.$$

Найдём корни уравнения $$3t^2-7t-6=0$$:

$$D=49+72=121,$$

$$t_{1,2}=\frac{7\pm 11}{6}.$$

Отсюда $$t_1=-\frac{1}{3}, \quad t_2=3.$$

Так как $$t=3^x>0,$$ подходит только промежуток $$t>3.$$ Значит,

$$3^x>3 \quad \Rightarrow \quad x>1.$$

Следовательно, решение первого неравенства:

$$x\in(1;+\infty).$$

2) Рассмотрим неравенство $$4^{1-x}-0{,}5^{\,1-2x}\ge 1.$$

Запишем основания через степень числа $$2$$:

$$4\cdot 2^{-2x}-0{,}5\cdot 2^{2x}\ge 1.$$

Умножим на $$2$$:

$$8\cdot 2^{-2x}-2^{2x}\ge 2.$$

Положим $$t=2^{2x},$$ тогда $$t>0$$ и $$2^{-2x}=\frac{1}{t}.$$ Получаем

$$\frac{8}{t}-t\ge 2.$$

Умножим на $$t>0$$:

$$8-t^2\ge 2t,$$

$$t^2+2t-8\le 0.$$

Найдём корни:

$$D=4+32=36,$$

$$t_{1,2}=\frac{-2\pm 6}{2},$$

$$t_1=-4,\quad t_2=2.$$

Так как $$t>0,$$ получаем $$0<t\le 2.$$ Тогда

$$2^{2x}\le 2,$$

$$2x\le 1,$$

$$x\le 0{,}5.$$

Следовательно, решение второго неравенства:

$$x\in(-\infty;0{,}5].$$

Ответ

1) $$x\in(1;+\infty);$$ 2) $$x\in(-\infty;0{,}5].$$