Упр.3.18 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Найдите множество решений неравенства:

1. 1) $$3^x-9\cdot3^{-x}-8>0$$;
   2) $$2^{x+3}+2^{1-x}<17$$;
   3) $$6^{x+2}+6^{-x}-37>0$$;
   4) $$\left(\frac{3}{5}\right)^{x+1}+\left(\frac{3}{5}\right)^{1-x}<\frac{6}{5}$$.

1. $$3^x-9\cdot 3^{-x}-8>0$$
   
   Обозначим $$t=3^x$$, тогда $$t>0$$ и $$3^{-x}=\frac1t$$. Получаем:
   $$t-\frac{9}{t}-8>0.$$
   Умножим на $$t>0$$:
   $$t^2-8t-9>0.$$
   Решим квадратное неравенство:
   $$t^2-8t-9=0,\quad D=64+36=100,$$
   $$t_{1,2}=\frac{8\pm 10}{2}\Rightarrow t_1=-1,\; t_2=9.$$
   Так как $$t>0$$, то
   $$t>9.$$
   Значит,
   $$3^x>9=3^2,\quad x>2.$$

2. $$2^{x+3}+2^{1-x}<17$$
   
   Обозначим $$t=2^x$$, тогда $$t>0$$ и $$2^{x+3}=8t,\; 2^{1-x}=\frac{2}{t}$$. Тогда:
   $$8t+\frac{2}{t}-17<0.$$
   Умножим на $$t>0$$:
   $$8t^2-17t+2<0.$$
   Найдём корни:
   $$D=17^2-4\cdot 8\cdot 2=289-64=225,$$
   $$t_{1,2}=\frac{17\pm 15}{16}\Rightarrow t_1=\frac18,\; t_2=2.$$
   Тогда
   $$\frac18<t<2,$$
   то есть
   $$\frac18<2^x<2.$$
   Следовательно,
   $$-3<x<1.$$

3. $$6^{x+2}+6^{-x}-37>0$$
   
   Обозначим $$t=6^x$$, тогда $$t>0$$, $$6^{x+2}=36t,\; 6^{-x}=\frac1t$$. Получаем:
   $$36t+\frac1t-37>0.$$
   Умножим на $$t>0$$:
   $$36t^2-37t+1>0.$$
   Найдём корни:
   $$D=37^2-4\cdot 36\cdot 1=1369-144=1225,$$
   $$t_{1,2}=\frac{37\pm 35}{72}\Rightarrow t_1=\frac1{36},\; t_2=1.$$
   Тогда
   $$t<\frac1{36}\quad \text{или}\quad t>1.$$
   Значит,
   $$6^x<6^{-2}\quad \text{или}\quad 6^x>6^0,$$
   откуда
   $$x<-2\quad \text{или}\quad x>0.$$

4. $$\left(\frac35\right)^{x+1}+\left(\frac35\right)^{1-x}<\frac65$$
   
   Обозначим $$t=\left(\frac35\right)^x$$, тогда $$t>0$$. Имеем:
   $$\frac35\,t+\frac35\,\frac1t<\frac65.$$
   Умножим на $$\frac53t>0$$:
   $$t^2-2t+1<0.$$
   Тогда
   $$(t-1)^2<0.$$
   Но квадрат неотрицателен при любых $$t$$, значит решений нет.

Ответ

1) $$\left(2;+\infty\right)$$;
2) $$\left(-3;1\right)$$;
3) $$\left(-\infty;-2\right)\cup\left(0;+\infty\right)$$;
4) $$\varnothing$$.