Упр.3.17 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) 3^(1/x)+3^(1/x+3) > 84; 2) 2·16^x-3·2^(4x-1)+7·4^(2x-2)?120.

1) $$3^{\frac1x}+3^{\frac1x+3}>84$$

Преобразуем второе слагаемое:

$$3^{\frac1x+3}=3^{\frac1x}\cdot 3^3=27\cdot 3^{\frac1x}.$$

Тогда

$$3^{\frac1x}+27\cdot 3^{\frac1x}>84,$$

$$28\cdot 3^{\frac1x}>84,$$

$$3^{\frac1x}>3,$$

$$\frac1x>1.$$

Решаем неравенство:

$$\frac1x-1>0,$$

$$\frac{1-x}{x}>0,$$

$$\frac{x-1}{x}<0.$$

Знак дроби отрицателен при

$$0<x<1.$$

2) $$2\cdot 16^x-3\cdot 2^{4x-1}+7\cdot 4^{2x-2}\le 120$$

Приведём всё к основанию $$16$$:

$$2^{4x-1}=\frac12\cdot 16^x,$$

$$4^{2x-2}=16^{x-1}=\frac{16^x}{16}.$$

Тогда

$$2\cdot 16^x-3\cdot \frac12\cdot 16^x+7\cdot \frac{16^x}{16}\le 120,$$

$$16^x\left(2-\frac32+\frac7{16}\right)\le 120,$$

$$16^x\cdot \frac{15}{16}\le 120,$$

$$16^x\le 128.$$

Так как $$128=2^7$$ и $$16=2^4,$$ получаем

$$2^{4x}\le 2^7,$$

$$4x\le 7,$$

$$x\le \frac74.$$

Ответ

1) $$\left(0;1\right);$$ 2) $$\left(-\infty;\frac74\right].$$