Упр.3.16 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Решите неравенство:

1. 1) $$2^{3x+1}+0{,}25^{\frac{1-3x}{2}}-4^{\frac{3x}{2}}>192$$; 2) $$2^{2x-1}+2^{2x-3}-2^{2x-5}>2^{7-x}+2^{5-x}-2^{3-x}$$.

1) Преобразуем все слагаемые к основанию $$2$$:

$$2^{3x+1}+0{,}25^{\frac{1-3x}{2}}-4^{\frac{3x}{2}} > 192$$
$$2^{3x}\cdot 2+2^{-2\cdot \frac{1-3x}{2}}-2^{2\cdot \frac{3x}{2}} > 192$$
$$2^{3x+1}+2^{3x-1}-2^{3x} > 192$$
$$2^{3x}+2^{3x}\cdot \frac12-2^{3x} > 192$$
$$2^{3x}\cdot \frac12 > 192$$
$$2^{3x} > 384$$

Так как $$384=128\cdot 3$$, удобнее записать:

$$2^{3x} > 2^7$$
$$3x > 7$$
$$x > \frac{7}{3}$$

2) Преобразуем обе части неравенства:

$$2^{2x-1}+2^{2x-3}-2^{2x-5} > 2^{7-x}+2^{5-x}-2^{3-x}$$
$$2^{2x}\cdot \frac12+2^{2x}\cdot \frac18-2^{2x}\cdot \frac1{32} > 2^{-x}\cdot 128+2^{-x}\cdot 32-2^{-x}\cdot 8$$
$$2^{2x}\left(\frac12+\frac18-\frac1{32}\right) > 2^{-x}(128+32-8)$$
$$2^{2x}\cdot \frac{19}{32} > 2^{-x}\cdot 152$$
$$2^{2x}\cdot \frac{19}{32} > 2^{-x}\cdot 8\cdot 19$$
$$2^{2x} > 2^{-x}\cdot 128$$
$$2^{2x+x} > 2^7$$
$$3x > 7$$
$$x > \frac{7}{3}$$

Ответ

1) $$\left(\frac{7}{3};+\infty\right)$$;
2) $$\left(\frac{7}{3};+\infty\right)$$.