Упр.3.16 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) 2^(3x+1)+0,25^((1-3x)/2)-4^(3x/2) > 192;
2) 2^(2x-1)+2^(2x-3)-2^(2x-5) > 2^(7-x)+2^(5-x)-2^(3-x).

1) Преобразуем все слагаемые к основанию $2$:

$$ 2^{3x+1}+0{,}25^{\frac{1-3x}{2}}-4^{\frac{3x}{2}} > 192 $$
$$ 2^{3x}\cdot 2 + 2^{-2\cdot \frac{1-3x}{2}} — 2^{2\cdot \frac{3x}{2}} > 192 $$
$$ 2\cdot 2^{3x} + 2^{3x-1} — 2^{3x} > 192 $$
$$ 2^{3x} + \frac{1}{2}\,2^{3x} > 192 $$
$$ \frac{3}{2}\,2^{3x} > 192 $$
$$ 2^{3x} > 128 = 2^7 $$
$$ 3x > 7,\quad x > \frac{7}{3}. $$

2) Преобразуем левую и правую части:

$$ 2^{2x-1}+2^{2x-3}-2^{2x-5} > 2^{7-x}+2^{5-x}-2^{3-x} $$
$$ \frac{2^{2x}}{2}+\frac{2^{2x}}{8}-\frac{2^{2x}}{32} > 2^{-x}\cdot 128 + 2^{-x}\cdot 32 — 2^{-x}\cdot 8 $$
$$ 2^{2x}\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{8}-\frac{1}{32}\right) > 2^{-x}(128+32-8) $$
$$ 2^{2x}\cdot \frac{19}{32} > 2^{-x}\cdot 152 $$
$$ 2^{2x} > 2^{-x}\cdot 256 $$
$$ 2^{2x+x} > 2^8 $$
$$ 3x > 8,\quad x > \frac{8}{3}. $$

Ответ

1) $$\left(\frac{7}{3};+\infty\right)$$
2) $$\left(\frac{8}{3};+\infty\right)$$