Упр.3.15 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

Решите неравенство:

1. $$\frac{16-4^x}{9x^2+12x+4}?0$$;
2. $$\frac{5^x-0{,}04}{5-x}?0$$.

1. $$\frac{16-4^x}{9x^2+12x+4}\ge 0$$

   Преобразуем знаменатель:

   $$9x^2+12x+4=(3x+2)^2.$$

   Тогда

   $$\frac{16-4^x}{(3x+2)^2}\ge 0.$$

   Так как $$(3x+2)^2>0$$ при $$x\ne -\frac23$$, знак дроби определяется числителем. Поэтому решаем неравенство

   $$16-4^x\ge 0.$$

   Так как $$4>1$$, получаем

   $$4^x\le 16=4^2,$$

   откуда

   $$x\le 2.$$

   С учётом ОДЗ $$x\ne -\frac23$$ имеем

   $$x\in\left(-\infty;-\frac23\right)\cup\left(-\frac23;2\right].$$

2. $$\frac{5^x-0{,}04}{5-x}\ge 0$$

   Заметим, что $$0{,}04=5^{-2}$$. Тогда

   $$\frac{5^x-5^{-2}}{5-x}\ge 0.$$

   Числитель обращается в нуль при

   $$5^x=5^{-2}\Rightarrow x=-2.$$

   Так как $$5>1$$, то

   $$5^x-5^{-2}\begin{cases} <0, & x<-2,\\ =0, & x=-2,\\ >0, & x>-2. \end{cases}$$

   Знаменатель

   $$5-x\begin{cases} >0, & x<5,\\ =0, & x=5,\\ <0, & x>5. \end{cases}$$

   Дробь неотрицательна на промежутке $$[-2;5)$$.

Ответ

1) $$x\in\left(-\infty;-\frac23\right)\cup\left(-\frac23;2\right]$$;

2) $$x\in[-2;5)$$.