Упр.3.14 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Решите неравенство:

1. $$\frac{5^x-125}{x^2-4x+4}<0$$;
2. $$\frac{2^x-1}{x-1}>0$$.

1. $$\frac{5^x-125}{x^2-4x+4}<0$$

   Преобразуем выражение:

   $$125=5^3,\qquad x^2-4x+4=(x-2)^2.$$

   Тогда

   $$\frac{5^x-5^3}{(x-2)^2}<0.$$

   Так как $$(x-2)^2>0$$ при $$x\ne 2$$, знак дроби определяется числителем. Получаем:

   $$5^x-5^3<0 \quad \Rightarrow \quad 5^x<5^3 \quad \Rightarrow \quad x<3.$$

   С учётом ОДЗ $$x\ne 2$$ имеем:

   $$x\in(-\infty;2)\cup(2;3).$$

2. $$\frac{2^x-1}{x-1}>0$$

   Представим числитель как разность степеней:

   $$2^x-1=2^x-2^0.$$

   Нуль числителя: $$2^x-1=0 \Rightarrow x=0.$$

   Нуль знаменателя: $$x-1=0 \Rightarrow x=1.$$

   Рассмотрим знаки множителей:

   • при $$x<0$$: $$2^x-1<0$$ и $$x-1<0$$, значит дробь положительна;
   • при $$0<x<1$$: $$2^x-1>0$$, $$x-1<0$$, значит дробь отрицательна;
   • при $$x>1$$: $$2^x-1>0$$ и $$x-1>0$$, значит дробь положительна.

   Точки $$x=0$$ и $$x=1$$ не входят в решение, так как неравенство строгое и при $$x=1$$ выражение не определено.

   Следовательно,

   $$x\in(-\infty;0)\cup(1;+\infty).$$

Ответ

1) $$(-\infty;2)\cup(2;3]$$; 2) $$(-\infty;0)\cup(1;+\infty)$$.