Упр.3.14 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) (5^x-125)/(x^2-4x+4)?0; 2) (2^x-1)/(x-1) > 0.

1. $$\frac{5^x-125}{x^2-4x+4}\le 0$$

   Преобразуем выражение:

   $$125=5^3,\qquad x^2-4x+4=(x-2)^2.$$

   Тогда

   $$\frac{5^x-5^3}{(x-2)^2}\le 0.$$

   Так как $$5>1$$, то функция $$5^x$$ возрастает, значит

   $$5^x-5^3\le 0 \iff x\le 3.$$

   Знаменатель $$ (x-2)^2 $$ положителен при всех $$x\ne 2$$, а при $$x=2$$ выражение не определено.

   Следовательно, нужно учесть условия:

   $$x\le 3,\qquad x\ne 2.$$

   Получаем:

   $$(-\infty;2)\cup(2;3].$$

2. $$\frac{2^x-1}{x-1}>0$$

   Преобразуем числитель:

   $$1=2^0,\qquad 2^x-1=2^x-2^0.$$

   Так как $$2>1$$, то

   $$2^x-1>0 \iff x>0,$$

   $$2^x-1<0 \iff x<0.$$

   Знаменатель:

   $$x-1>0 \iff x>1,$$

   $$x-1<0 \iff x<1.$$

   Дробь положительна, когда числитель и знаменатель одного знака:

   $$x<0 \quad \text{или} \quad x>1.$$

   Точку $$x=0$$ не включаем, так как тогда числитель равен нулю, а требуется строгое неравенство.

Ответ

1) $$(-\infty;2)\cup(2;3]$$

2) $$(-\infty;0)\cup(1;+\infty)$$