Упр.3.13 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

Задача

1) 9^(x+1)-2·3^x-7?0; 3) (1/4)^x-3·(1/2)^x+2 > 0;
2) 2^x+2^(x/2)-72?0; 4) 25^x-26·5^x+25?0.

Подробный ответ

$$9^{x+1}-2\cdot 3^x-7\le 0$$
$$9\cdot 3^{2x}-2\cdot 3^x-7\le 0$$
Пусть $$t=3^x$$, тогда $$t>0$$ и получаем:
$$9t^2-2t-7\le 0$$
Найдём корни квадратного трёхчлена:
$$D=(-2)^2-4\cdot 9\cdot(-7)=256$$
$$t_{1,2}=\frac{2\pm 16}{18}$$
$$t_1=-\frac79,\quad t_2=1$$
Так как $$t>0$$, то подходит только промежуток $$0<t\le 1$$.
Возвращаясь к переменной $$x$$, получаем:
$$3^x\le 1 \Rightarrow x\le 0$$
$$2^x+2^{x/2}-72\ge 0$$
Пусть $$t=2^{x/2}$$, тогда $$t>0$$ и $$2^x=t^2$$. Получаем:
$$t^2+t-72\ge 0$$
Найдём корни:
$$D=1+4\cdot 72=289$$
$$t_{1,2}=\frac{-1\pm 17}{2}$$
$$t_1=-9,\quad t_2=8$$
С учётом $$t>0$$ имеем $$t\ge 8$$.
Тогда
$$2^{x/2}\ge 8=2^3 \Rightarrow \frac{x}{2}\ge 3 \Rightarrow x\ge 6$$
$$\left(\frac14\right)^x-3\left(\frac12\right)^x+2>0$$
Пусть $$t=\left(\frac12\right)^x$$, тогда $$t>0$$ и $$\left(\frac14\right)^x=t^2$$. Получаем:
$$t^2-3t+2>0$$
$$\left(t-1\right)\left(t-2\right)>0$$
Отсюда
$$t<1 \quad \text{или} \quad t>2$$
Так как $$t=\left(\frac12\right)^x$$, то:
$$\left(\frac12\right)^x<1 \Rightarrow x>0$$
$$\left(\frac12\right)^x>2=\left(\frac12\right)^{-1} \Rightarrow x<-1$$
$$25^x-26\cdot 5^x+25\le 0$$
$$5^{2x}-26\cdot 5^x+25\le 0$$
Пусть $$t=5^x$$, тогда $$t>0$$ и получаем:
$$t^2-26t+25\le 0$$
Найдём корни:
$$D=26^2-4\cdot 25=576$$
$$t_{1,2}=\frac{26\pm 24}{2}$$
$$t_1=1,\quad t_2=25$$
Тогда
$$1\le t\le 25$$
Возвращаясь к переменной $$x$$, получаем:
$$1\le 5^x\le 25=5^2 \Rightarrow 0\le x\le 2$$