Упр.3.12 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

Решите неравенство:

1. 1) $$3^{2x}-4\cdot3^x-45>0$$; 4) $$0{,}25^x-12\cdot0{,}5^x+32?0$$; 2) $$4^x+2^{x+3}-20<0$$; 5) $$6^{2x-1}-\frac{1}{3}\cdot6^x-4?0$$; 3) $$49^x-8\cdot7^x+7?0$$; 6) $$25^x+5^x-30?0$$.

1. $$3^{2x}-4\cdot 3^x-45>0$$
   
   Положим $$t=3^x$$, тогда $$t>0$$ и получаем:
   $$t^2-4t-45>0$$
   $$\left(t-9\right)\left(t+5\right)>0$$
   Так как $$t>0$$, то подходит только:
   $$t>9$$
   $$3^x>3^2$$
   $$x>2$$
2. $$4^x+2^{x+3}-20<0$$
   $$2^{2x}+8\cdot 2^x-20<0$$
   Положим $$t=2^x$$, тогда $$t>0$$:
   $$t^2+8t-20<0$$
   $$\left(t-2\right)\left(t+10\right)<0$$
   Отсюда:
   $$-10<t<2$$
   С учётом $$t>0$$ получаем:
   $$0<2^x<2$$
   $$x<1$$
3. $$49^x-8\cdot 7^x+7\le 0$$
   $$7^{2x}-8\cdot 7^x+7\le 0$$
   Положим $$t=7^x$$, тогда $$t>0$$:
   $$t^2-8t+7\le 0$$
   $$\left(t-1\right)\left(t-7\right)\le 0$$
   Значит,
   $$1\le t\le 7$$
   $$1\le 7^x\le 7$$
   $$0\le x\le 1$$
4. $$0{,}25^x-12\cdot 0{,}5^x+32\ge 0$$
   $$0{,}5^{2x}-12\cdot 0{,}5^x+32\ge 0$$
   Положим $$t=0{,}5^x$$, тогда $$t>0$$:
   $$t^2-12t+32\ge 0$$
   $$\left(t-4\right)\left(t-8\right)\ge 0$$
   Отсюда:
   $$t\le 4 \quad \text{или} \quad t\ge 8$$
   Возвращаясь к $$t=0{,}5^x$$, получаем:
   $$0{,}5^x\le 4 \quad \text{или} \quad 0{,}5^x\ge 8$$
   $$x\ge -2 \quad \text{или} \quad x\le -3$$
5. $$6^{2x-1}-\frac13\cdot 6^x-4\le 0$$
   $$\frac16\cdot 6^{2x}-\frac13\cdot 6^x-4\le 0$$
   Умножим на $$6$$:
   $$6^{2x}-2\cdot 6^x-24\le 0$$
   Положим $$t=6^x$$, тогда $$t>0$$:
   $$t^2-2t-24\le 0$$
   $$\left(t-6\right)\left(t+4\right)\le 0$$
   Значит,
   $$-4\le t\le 6$$
   С учётом $$t>0$$:
   $$0<6^x\le 6$$
   $$x\le 1$$
6. $$25^x+5^x-30\ge 0$$
   $$5^{2x}+5^x-30\ge 0$$
   Положим $$t=5^x$$, тогда $$t>0$$:
   $$t^2+t-30\ge 0$$
   $$\left(t-5\right)\left(t+6\right)\ge 0$$
   Отсюда:
   $$t\ge 5$$
   $$5^x\ge 5$$
   $$x\ge 1$$

Ответ

1) $$\left(2;+\infty\right)$$; 2) $$\left(-\infty;1\right)$$; 3) $$\left[0;1\right]$$; 4) $$\left(-\infty;-3\right]\cup\left[-2;+\infty\right)$$; 5) $$\left(-\infty;1\right]$$; 6) $$\left[1;+\infty\right)$$.