Упр.3.11 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

1. Решите неравенство:
   1) $$3^{x+2}-4\cdot 3^x<45$$;
   3) $$5^x+5^{x-1}-5^{x-2}>145$$;
   2) $$\left(\frac{1}{2}\right)^{x-2}-\left(\frac{1}{2}\right)^x?3$$;
   4) $$\left(\frac{2}{3}\right)^x+\left(\frac{2}{3}\right)^{x-1}<1\frac{2}{3}$$.

1. $$3^{x+2}-4\cdot 3^x<45$$

   $$3^2\cdot 3^x-4\cdot 3^x<45$$

   $$3^x(9-4)<45$$

   $$5\cdot 3^x<45$$

   $$3^x<9=3^2$$

   Так как основание $$3>1$$, получаем $$x<2$$.

2. $$\left(\frac12\right)^{x-2}-\left(\frac12\right)^x\le 3$$

   $$\left(\frac12\right)^x\cdot \left(\frac12\right)^{-2}-\left(\frac12\right)^x\le 3$$

   $$\left(\frac12\right)^x(4-1)\le 3$$

   $$3\left(\frac12\right)^x\le 3$$

   $$\left(\frac12\right)^x\le 1$$

   Так как основание $$\frac12<1$$, получаем $$x\ge 0$$.

3. $$5^x+5^{x-1}-5^{x-2}>145$$

   $$5^x+5^x\cdot 5^{-1}-5^x\cdot 5^{-2}>145$$

   $$5^x\left(1+\frac15-\frac1{25}\right)>145$$

   $$5^x\cdot \frac{29}{25}>145$$

   $$5^x>145\cdot \frac{25}{29}=125$$

   $$5^x>5^3$$

   Так как основание $$5>1$$, получаем $$x>3$$.

4. $$\left(\frac23\right)^x+\left(\frac23\right)^{x-1}<1\frac23$$

   $$\left(\frac23\right)^x+\left(\frac23\right)^x\cdot \frac32<\frac53$$

   $$\left(\frac23\right)^x\left(1+\frac32\right)<\frac53$$

   $$\left(\frac23\right)^x\cdot \frac52<\frac53$$

   $$\left(\frac23\right)^x<\frac23$$

   Так как основание $$\frac23<1$$, получаем $$x>1$$.

Ответ

1) $$(-\infty;2)$$; 2) $$[0;+\infty)$$; 3) $$(3;+\infty)$$; 4) $$(1;+\infty)$$.