Упр.294 Повторение ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Полонский 11 класс, Просвещение: 294. Парабола y=ax^2+bx+c имеет вершину в точке M(1; -1) и проходит через точку K(-2; 3). Найдите значения коэффициентов а, b и с.

Для параболы $$y=ax^2+bx+c$$ абсцисса вершины равна

$$x_0=-\frac{b}{2a}.$$

Так как вершина находится в точке $$M(1;-1),$$ то

$$-\frac{b}{2a}=1 \Rightarrow b=-2a.$$

Координаты точки $$M$$ удовлетворяют уравнению параболы:

$$a\cdot 1^2+b\cdot 1+c=-1,$$

то есть

$$a+b+c=-1.$$

Подставим $$b=-2a$$:

$$a-2a+c=-1 \Rightarrow c=a-1.$$

Теперь используем точку $$K(-2;3):$$

$$3=a(-2)^2+b(-2)+c,$$

$$3=4a-2b+c.$$

Подставим $$b=-2a$$ и $$c=a-1$$:

$$3=4a-2(-2a)+(a-1),$$

$$3=4a+4a+a-1,$$

$$3=9a-1,$$

$$9a=4,$$

$$a=\frac{4}{9}.$$

Тогда

$$b=-2a=-2\cdot \frac{4}{9}=-\frac{8}{9},$$

$$c=a-1=\frac{4}{9}-1=-\frac{5}{9}.$$

Ответ

$$a=\frac{4}{9},\quad b=-\frac{8}{9},\quad c=-\frac{5}{9}.$$