Упр.29.7 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 29.7. Трое игроков по очереди бросают монету. Выиграет тот, у кого первым выпадет герб. Найти вероятность выигрыша второго игрока.

Обозначим вероятность выпадения герба через $$p=\frac12,$$ а решки — через $$q=\frac12.$$

Второй игрок выигрывает тогда и только тогда, когда первый раз герб выпадет на его ходе: это может произойти на 2-м, 5-м, 8-м и т. д. броске.

Тогда вероятность выигрыша второго игрока равна

$$ P=q p+q^4 p+q^7 p+\cdots $$

Это геометрическая прогрессия с первым членом $$qp$$ и знаменателем $$q^3,$$ поэтому

$$ P=qp\left(1+q^3+q^6+\cdots\right)=\frac{qp}{1-q^3}. $$

Подставим $$p=q=\frac12$$:

$$ P=\frac12\cdot\frac12\cdot\frac{1}{1-\left(\frac12\right)^3} =\frac14\cdot\frac{1}{1-\frac18} =\frac14\cdot\frac{8}{7} =\frac27. $$

Ответ

$$\frac27$$