Упр.29.6 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Случайная величина $$x$$ имеет геометрическое распределение с параметром $$p=\frac{1}{5}$$. Найдите распределение вероятностей случайной величины $$y=(-1)^x$$.

Так как $$x$$ — геометрическая случайная величина с параметром $$p=\frac15,$$ то $$q=1-p=\frac45.$$

Случайная величина $$y=(-1)^x$$ принимает только два значения:

если $$x$$ нечётное, то $$y=-1$$; если $$x$$ чётное, то $$y=1.$$

Найдём вероятности этих значений.

$$P(y=-1)=P(x=1)+P(x=3)+P(x=5)+\dots$$
$$= p+q^2p+q^4p+\dots = p(1+q^2+q^4+\dots)$$
$$= \frac{p}{1-q^2} = \frac{\frac15}{1-\left(\frac45\right)^2} = \frac{\frac15}{1-\frac{16}{25}} = \frac{\frac15}{\frac{9}{25}} = \frac59.$$

Тогда

$$P(y=1)=1-P(y=-1)=1-\frac59=\frac49.$$

Ответ

$$P(y=-1)=\frac59,\qquad P(y=1)=\frac49.$$