Упр.281 Повторение ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)
- Найдите координаты точек пересечения графиков функций: 1) $$y=x-3$$ и $$y=x^2-4x+3$$; 4) $$y=\frac{6}{x}$$ и $$y=x+5$$; 2) $$y=2x^2-3x$$ и $$y=-x^2+x+7$$; 5) $$y=\sqrt{10-3x}$$ и $$y=-x$$; 3) $$y=x^6$$ и $$y=2x^4$$; 6) $$y=\sqrt{x+2}$$ и $$y=\sqrt{2x-3}+1$$.
$$y=x-3$$
$$y=x^2-4x+3$$
Приравняем значения функций:
$$x-3=x^2-4x+3$$
$$x^2-5x+6=0$$
$$\left(x-2\right)\left(x-3\right)=0$$
$$x=2 \text{ или } x=3$$
Тогда:
$$y=2-3=-1,\quad y=3-3=0$$
Точки пересечения: $$\left(2;-1\right),\ \left(3;0\right).$$
$$y=2x^2-3x$$
$$y=-x^2+x+7$$
Приравняем:
$$2x^2-3x=-x^2+x+7$$
$$3x^2-4x-7=0$$
$$D=(-4)^2-4\cdot 3\cdot(-7)=16+84=100$$
$$x=\frac{4\pm 10}{6}$$
$$x_1=-1,\quad x_2=\frac{7}{3}$$
Найдём ординаты:
$$y_1=2\cdot(-1)^2-3\cdot(-1)=5$$
$$y_2=2\cdot\left(\frac{7}{3}\right)^2-3\cdot\frac{7}{3}=\frac{35}{9}$$
Точки пересечения: $$\left(-1;5\right),\ \left(\frac{7}{3};\frac{35}{9}\right).$$
$$y=x^6$$
$$y=2x^4$$
Приравняем:
$$x^6=2x^4$$
$$x^4\left(x^2-2\right)=0$$
Отсюда:
$$x=0,\quad x=\pm\sqrt{2}$$
Найдём значения функции:
$$x=0 \Rightarrow y=0$$
$$x=\pm\sqrt{2} \Rightarrow y=\left(\pm\sqrt{2}\right)^6=8$$
Точки пересечения: $$\left(0;0\right),\ \left(-\sqrt{2};8\right),\ \left(\sqrt{2};8\right).$$
$$y=\frac{6}{x}$$
$$y=x+5$$
Приравняем:
$$\frac{6}{x}=x+5$$
$$6=x^2+5x$$
$$x^2+5x-6=0$$
$$\left(x+6\right)\left(x-1\right)=0$$
$$x=-6 \text{ или } x=1$$
Тогда:
$$y=-6+5=-1,\quad y=1+5=6$$
Точки пересечения: $$\left(-6;-1\right),\ \left(1;6\right).$$
$$y=\sqrt{10-3x}$$
$$y=-x$$
Приравняем:
$$-x=\sqrt{10-3x}$$
Так как правая часть неотрицательна, то $$-x\ge 0,$$ значит $$x\le 0.$$
Возведём в квадрат:
$$x^2=10-3x$$
$$x^2+3x-10=0$$
$$\left(x+5\right)\left(x-2\right)=0$$
$$x=-5 \text{ или } x=2$$
С учётом условия $$x\le 0$$ подходит только $$x=-5.$$
Тогда $$y=-(-5)=5.$$
Точка пересечения: $$\left(-5;5\right).$$
$$y=\sqrt{x+2}$$
$$y=\sqrt{2x-3}+1$$
Приравняем:
$$\sqrt{x+2}=\sqrt{2x-3}+1$$
Область определения:
$$x+2\ge 0,\quad 2x-3\ge 0$$
$$x\ge -2,\quad x\ge \frac{3}{2}$$
Значит, $$x\ge \frac{3}{2}.$$
Перенесём единицу и возведём в квадрат:
$$\sqrt{x+2}-1=\sqrt{2x-3}$$
$$x+2-2\sqrt{x+2}+1=2x-3$$
$$2\sqrt{x+2}=6-x$$
$$4\left(x+2\right)=\left(6-x\right)^2$$
$$4x+8=x^2-12x+36$$
$$x^2-16x+28=0$$
$$D=16^2-4\cdot 28=256-112=144$$
$$x=\frac{16\pm 12}{2}$$
$$x_1=2,\quad x_2=14$$
Проверка:
$$x=2 \Rightarrow y=\sqrt{2+2}=2$$
$$x=14 \Rightarrow y=\sqrt{14+2}=4$$
Обе точки подходят.
Точки пересечения: $$\left(2;2\right),\ \left(14;4\right).$$
Ответ
1) $$\left(2;-1\right),\ \left(3;0\right);$$ 2) $$\left(-1;5\right),\ \left(\frac{7}{3};\frac{35}{9}\right);$$ 3) $$\left(0;0\right),\ \left(-\sqrt{2};8\right),\ \left(\sqrt{2};8\right);$$ 4) $$\left(-6;-1\right),\ \left(1;6\right);$$ 5) $$\left(-5;5\right);$$ 6) $$\left(2;2\right),\ \left(14;4\right).$$
