Упр.280 Повторение ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

Задача

1) f(x)=6/(2-x) возрастает на промежутке (-?; 2);
2) f(x)=x^2+4x убывает на промежутке (-?; -2].

Подробный ответ

1) Рассмотрим функцию $$f(x)=\frac{6}{2-x}, \quad x\ne 2.$$

Пусть $$x_1<x_2<2.$$ Тогда

$$-x_1>-x_2,$$

значит,

$$2-x_1>2-x_2>0.$$

Для положительных чисел больший знаменатель соответствует меньшему значению дроби, поэтому

$$\frac{6}{2-x_1}<\frac{6}{2-x_2},$$

то есть

$$f(x_1)<f(x_2).$$

Следовательно, функция возрастает на промежутке $$(-\infty;2).$$

2) Рассмотрим функцию $$f(x)=x^2+4x.$$ Преобразуем её:

$$f(x)=x^2+4x=(x+2)^2-4.$$

Пусть $$x_1<x_2\le -2.$$ Тогда числа $$x_1+2$$ и $$x_2+2$$ не положительны, и из неравенства $$x_1<x_2$$ следует

$$x_1+2<x_2+2\le 0.$$

При этом на промежутке $$(-\infty;-2]$$ функция $$y=(x+2)^2$$ убывает, так как при увеличении $$x$$ от отрицательных значений к нулю квадрат уменьшается. Значит,

$$f(x_1)>f(x_2).$$

Следовательно, функция убывает на промежутке $$(-\infty;-2].$$