Упр.28.97 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1. Найдите все натуральные значения $$n$$, при которых является целым числом значение выражения:
   1) $$\frac{5n^2+3n+10}{n}$$;
   2) $$\frac{n^3-6n^2+32}{n^2}$$;
   3) $$\frac{12n+11}{3n-2}$$.

1. $$\frac{5n^2+3n+10}{n}=5n+3+\frac{10}{n}.$$

   Чтобы выражение было целым, число $$\frac{10}{n}$$ должно быть целым. Значит, $$n$$ — натуральный делитель числа $$10$$.

   $$n=1,2,5,10.$$

2. $$\frac{n^3-6n^2+32}{n^2}=n-6+\frac{32}{n^2}.$$

   Нужно, чтобы $$\frac{32}{n^2}$$ было целым числом, то есть $$n^2$$ делило $$32$$.

   Так как $$32=2^5$$, то возможны значения $$n^2=1,4,16$$, откуда

   $$n=1,2,4.$$

3. $$\frac{12n+11}{3n-2}=\frac{12n-8+19}{3n-2}=4+\frac{19}{3n-2}.$$

   Чтобы выражение было целым, число $$\frac{19}{3n-2}$$ должно быть целым. Значит, $$3n-2$$ — делитель числа $$19$$.

   Так как $$19$$ — простое число, то

   $$3n-2=1 \quad \text{или} \quad 3n-2=19.$$

   Отсюда:

   $$n=1 \quad \text{или} \quad n=7.$$

Ответ

1) $$1,2,5,10$$; 2) $$1,2,4$$; 3) $$1,7$$.