Упр.28.9 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1. Книги можно расставить поровну на $$12$$ полках или на $$8$$ полках. Сколько имеется книг, если известно, что их больше $$100$$, но меньше $$140$$?

Пусть $$n$$ — число книг. По условию их можно расставить поровну и на 12 полках, и на 8 полках, значит $$n$$ делится и на $$12$$, и на $$8$$.

Найдём наименьшее общее кратное чисел $$12$$ и $$8$$:

$$12=2^2\cdot 3,\qquad 8=2^3,$$

$$\operatorname{НОК}(12,8)=2^3\cdot 3=24.$$

Следовательно, число книг имеет вид

$$n=24k,$$

где $$k$$ — натуральное число.

По условию:

$$100<n<140.$$

Подставим $$n=24k$$:

$$100<24k<140.$$

Делим все части неравенства на $$24$$:

$$\frac{100}{24}<k<\frac{140}{24}.$$

Получаем:

$$4\frac{1}{6}<k<5\frac{5}{6}.$$

Единственное натуральное значение $$k$$ — это $$5$$. Тогда

$$n=24\cdot 5=120.$$

Ответ

120 книг.