Упр.28.405 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1. Вычислите интеграл: 1) $$\int_{-2\sqrt{3}}^{2\sqrt{3}}\sqrt{12-x^2}\,dx$$; 2) $$\int_{-1}^{1}(1-|x|)\,dx$$.

1. $$\int\limits_{-2\sqrt{3}}^{2\sqrt{3}} \sqrt{12-x^2}\,dx$$

   Подынтегральная функция задаёт верхнюю полуокружность:

   $$x^2+y^2=12,\quad R=\sqrt{12}=2\sqrt{3}.$$

   Интеграл равен площади полукруга радиуса $$2\sqrt{3}$$:

   $$S=\frac12\pi R^2=\frac12\pi\cdot 12=6\pi.$$

2. $$\int\limits_{-1}^{1} (1-|x|)\,dx$$

   Функция $$y=1-|x|$$ задаёт равнобедренный треугольник с основанием $$2$$ и высотой $$1$$.

   Тогда

   $$S=\frac12\cdot 2\cdot 1=1.$$

Ответ

1) $$6\pi$$; 2) $$1$$.