Упр.28.400 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)
Для функции f найдите на указанном промежутке I первообразную F, график которой проходит через данную точку M:
- $$f(x)=2x+4,\quad I=(-\infty;+\infty),\quad M(2;1).$$
- $$f(x)=4x^3-2x+3,\quad I=(-\infty;+\infty),\quad M(1;8).$$
- $$f(x)=\frac{1}{2}\cos\frac{x}{2}-5\sin(5x),\quad I=(-\infty;+\infty),\quad M(\pi;0).$$
- $$f(x)=\frac{2}{\sqrt{1-2x}},\quad I=(-\infty;\frac{1}{2}),\quad M(-4;1).$$
- $$f(x)=6x^2+e^{\frac{x}{4}},\quad I=(-\infty;+\infty),\quad M(2;4\sqrt{e}).$$
- $$f(x)=(5x-3)^4,\quad I=(-\infty;+\infty),\quad M(1;1).$$
$$f(x)=2x+4$$
Первообразная:
$$F(x)=\int (2x+4)\,dx=x^2+4x+C.$$
Используем точку $$M(2;1)$$:
$$F(2)=4+8+C=1,$$
$$C=-11.$$
Значит,
$$F(x)=x^2+4x-11.$$
$$f(x)=4x^3-2x+3$$
$$F(x)=\int (4x^3-2x+3)\,dx=x^4-x^2+3x+C.$$
Из условия $$M(1;8)$$:
$$F(1)=1-1+3+C=8,$$
$$C=5.$$
Следовательно,
$$F(x)=x^4-x^2+3x+5.$$
$$f(x)=\frac12\cos\frac{x}{2}-5\sin 5x$$
$$F(x)=\int \left(\frac12\cos\frac{x}{2}-5\sin 5x\right)\,dx=\sin\frac{x}{2}+\cos 5x+C.$$
Так как $$M(\pi;0)$$, то
$$F(\pi)=\sin\frac{\pi}{2}+\cos 5\pi+C=0,$$
$$1-1+C=0,\quad C=0.$$
Итак,
$$F(x)=\sin\frac{x}{2}+\cos 5x.$$
$$f(x)=\frac{2}{\sqrt{1-2x}}$$
$$F(x)=\int \frac{2}{\sqrt{1-2x}}\,dx=-2\sqrt{1-2x}+C.$$
Из точки $$M(-4;1)$$:
$$F(-4)=-2\sqrt{1+8}+C=1,$$
$$-6+C=1,\quad C=7.$$
Значит,
$$F(x)=-2\sqrt{1-2x}+7.$$
$$f(x)=6x^2+e^{x/4}$$
$$F(x)=\int \left(6x^2+e^{x/4}\right)\,dx=2x^3+4e^{x/4}+C.$$
По точке $$M(2;4\sqrt e)$$:
$$F(2)=2\cdot 8+4e^{1/2}+C=4\sqrt e,$$
$$16+4\sqrt e+C=4\sqrt e,\quad C=-16.$$
Следовательно,
$$F(x)=2x^3+4e^{x/4}-16.$$
$$f(x)=(5x-3)^4$$
$$F(x)=\int (5x-3)^4\,dx=\frac{(5x-3)^5}{25}+C.$$
Из условия $$M(1;1)$$:
$$F(1)=\frac{2^5}{25}+C=1,$$
$$\frac{32}{25}+C=1,\quad C=-\frac{7}{25}.$$
Итак,
$$F(x)=\frac{(5x-3)^5-7}{25}.$$
Ответ
1) $$F(x)=x^2+4x-11$$;
2) $$F(x)=x^4-x^2+3x+5$$;
3) $$F(x)=\sin\frac{x}{2}+\cos 5x$$;
4) $$F(x)=-2\sqrt{1-2x}+7$$;
5) $$F(x)=2x^3+4e^{x/4}-16$$;
6) $$F(x)=\frac{(5x-3)^5-7}{25}$$.
