Упр.28.394 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1. Представьте число $$15$$ в виде суммы двух таких неотрицательных чисел, чтобы произведение квадрата первого из них на второе было наибольшим.

Пусть первое число равно $$x$$, тогда второе число равно $$15-x$$, где $$0 \le x \le 15$$.

Требуется, чтобы произведение квадрата первого числа на второе было наибольшим:

$$f(x)=x^2(15-x).$$

Найдём производную:

$$f'(x)=2x(15-x)-x^2=30x-3x^2=3x(10-x).$$

Критические точки:

$$3x(10-x)=0 \Rightarrow x=0 \text{ или } x=10.$$

На отрезке $$[0;15]$$ функция возрастает при $$0<x<10$$ и убывает при $$10<x<15$$, значит, наибольшее значение достигается при $$x=10$$.

Тогда второе число:

$$15-10=5.$$

Проверим значение функции:

$$f(10)=10^2\cdot 5=500.$$

Ответ

$$10 \text{ и } 5.$$