Упр.28.392 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1. Найдите точки минимума и максимума функции:
   1) $$f(x)=\frac{\sqrt{3}}{4}\cos(2x)-\frac{\sin(2x)}{4}-\frac{1-\sqrt{3}x}{2}$$;
   2) $$f(x)=5\sin(x)+12\cos(x)-13x$$.

1. $$f(x)=\frac{\sqrt{3}}{4}\cos 2x-\frac{\sin 2x}{4}-\frac{1-\sqrt{3}x}{2}$$

   Найдём производную:

   $$f'(x)=\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot(-2\sin 2x)-\frac{1}{4}\cdot 2\cos 2x-\frac{1}{2}\cdot(-\sqrt{3})$$

   $$f'(x)=-\frac{\sqrt{3}}{2}\sin 2x-\frac{1}{2}\cos 2x+\frac{\sqrt{3}}{2}$$

   Точки экстремума найдём из уравнения $$f'(x)=0$$:

   $$\frac{1}{2}\cos 2x+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin 2x=\frac{\sqrt{3}}{2}$$

   $$\cos\frac{\pi}{3}\cos 2x+\sin\frac{\pi}{3}\sin 2x=\frac{\sqrt{3}}{2}$$

   $$\cos\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$$

   $$2x-\frac{\pi}{3}=\pm\frac{\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}$$

   Отсюда:

   $$x=\frac{\pi}{12}+\pi n \quad \text{или} \quad x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}$$

   Проверка знака производной показывает, что при

   $$x=\frac{\pi}{12}+\pi n$$

   получаем максимум, а при

   $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n$$

   получаем минимум.

2. $$f(x)=5\sin x+12\cos x-13x$$

   Найдём производную:

   $$f'(x)=5\cos x-12\sin x-13$$

   Для экстремума нужно решить уравнение $$f'(x)=0$$:

   $$5\cos x-12\sin x=13$$

   Оценим левую часть:

   $$5\cos x-12\sin x\le \sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{169}=13$$

   Равенство возможно только при определённых значениях $$x$$, но тогда производная не меняет знак так, чтобы возникали точки минимума или максимума. Следовательно, точек экстремума у функции нет.

Ответ

1) $$x_{\max}=\frac{\pi}{12}+\pi n,\quad x_{\min}=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

2) Точек минимума и максимума нет.