Упр.28.389 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1. Докажите, что функция $$f(x)=\cos(3x)+4x$$ возрастает на $$\mathbb{R}$$.

Найдём производную функции:

$$f(x)=\cos 3x+4x$$

$$f'(x)=-3\sin 3x+4$$

Так как для любого $$x$$ выполняется неравенство

$$-1 \le \sin 3x \le 1,$$

то

$$-3 \le -3\sin 3x \le 3.$$

Прибавим 4 ко всем частям неравенства:

$$1 \le -3\sin 3x+4 \le 7.$$

Следовательно,

$$f'(x)\ge 1>0$$

для всех $$x \in \mathbb{R}$$.

Значит, функция $$f(x)$$ возрастает на всей числовой прямой.

Ответ

Функция $$f(x)=\cos 3x+4x$$ возрастает на $$\mathbb{R}$$.