Упр.28.388 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1. Докажите, что функция $$f(x)=-2x^3+2x^2-10x+80$$ убывает на $$\mathbb{R}$$.

Найдём производную функции:

$$f(x)=-2x^3+2x^2-10x+80$$

$$f'(x)=-6x^2+4x-10$$

Исследуем знак производной:

$$f'(x)=-2(3x^2-2x+5)$$

Рассмотрим квадратный трёхчлен $$3x^2-2x+5$$. Его дискриминант равен

$$D=(-2)^2-4\cdot 3\cdot 5=4-60=-56<0.$$

Так как старший коэффициент положителен, то $$3x^2-2x+5>0$$ при всех $$x\in R$$.

Следовательно,

$$f'(x)=-2(3x^2-2x+5)<0$$

при всех $$x\in R$$.

Значит, функция $$f(x)$$ убывает на всей числовой прямой.

Ответ

Функция убывает на $$R$$.