Упр.28.382 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1. Составьте уравнение касательной к графику функции $$f(x)=x^4-4x^3+5x$$, которая параллельна прямой $$y=5x-8$$.

Касательная, параллельная прямой $$y=5x-8,$$ должна иметь такой же угловой коэффициент, то есть $$k=5.$$

Найдём производную функции:

$$f(x)=x^4-4x^3+5x,$$

$$f'(x)=4x^3-12x^2+5.$$

Приравняем производную к 5:

$$4x^3-12x^2+5=5,$$

$$4x^3-12x^2=0,$$

$$4x^2(x-3)=0.$$

Отсюда

$$x=0 \text{ или } x=3.$$

Найдём точки касания.

1) При $$x=0$$:

$$f(0)=0,$$

уравнение касательной:

$$y=5(x-0)+0,$$

$$y=5x.$$

2) При $$x=3$$:

$$f(3)=3^4-4\cdot 3^3+5\cdot 3=81-108+15=-12,$$

уравнение касательной:

$$y=5(x-3)-12,$$

$$y=5x-27.$$

Ответ

$$y=5x$$; $$y=5x-27.$$