Упр.28.376 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Найдите угловой коэффициент касательной, проведённой к графику функции $$f$$ в точке с абсциссой $$x_0$$:

1. а) $$f(x)=\sqrt{25-x^2}$$, $$x_0=-3$$;
   б) $$f(x)=\sin(2x)$$, $$x_0=\frac{\pi}{4}$$;
   в) $$f(x)=\cos^2(x)$$, $$x_0=\frac{\pi}{12}$$.

1. $$f(x)=\sqrt{25-x^2}, \quad x_0=-3.$$

   Найдём производную:

   $$f'(x)=\frac{-2x}{2\sqrt{25-x^2}}=-\frac{x}{\sqrt{25-x^2}}.$$

   Тогда

   $$f'(-3)=-\frac{-3}{\sqrt{25-9}}=\frac{3}{4}.$$

2. $$f(x)=\sin 2x, \quad x_0=\frac{\pi}{4}.$$

   Найдём производную:

   $$f'(x)=2\cos 2x.$$

   Тогда

   $$f’\left(\frac{\pi}{4}\right)=2\cos\frac{\pi}{2}=0.$$

3. $$f(x)=\cos^2 x, \quad x_0=\frac{\pi}{12}.$$

   Найдём производную:

   $$f'(x)=2\cos x\cdot(-\sin x)=-\sin 2x.$$

   Тогда

   $$f’\left(\frac{\pi}{12}\right)=-\sin\frac{\pi}{6}=-\frac{1}{2}.$$

Ответ

1) $$\frac{3}{4}$$; 2) $$0$$; 3) $$-\frac{1}{2}$$.