Упр.28.374 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1. Вычислите значение производной данной функции в точке $$x_0$$:
   1) $$f(x)=\frac{3x^2}{1-x},\quad x_0=-1$$;
   2) $$f(x)=v(5x^2-2x),\quad x_0=2$$;
   3) $$f(x)=(x^2-2x+3)\cos(x),\quad x_0=0$$;
   4) $$f(x)=\frac{1+\sin(x)}{4-\sin(x)},\quad x_0=0$$;
   5) $$f(x)=\cos(2x)-\sin\left(\frac{\pi}{3}\right),\quad x_0=\frac{\pi}{2}$$;
   6) $$f(x)=\frac{\ln x}{x},\quad x_0=1$$;
   7) $$f(x)=e^{2x-1},\quad x_0=\frac{1}{2}$$.

1. $$f(x)=\frac{3x^2}{1-x}, \quad x_0=-1.$$

   По формуле производной частного:

   $$f'(x)=\frac{(3x^2)'(1-x)-3x^2(1-x)’}{(1-x)^2}=\frac{6x(1-x)+3x^2}{(1-x)^2}.$$

   Подставим $$x=-1$$:

   $$f'(-1)=\frac{6\cdot(-1)\cdot(1-(-1))+3\cdot(-1)^2}{(1-(-1))^2}=\frac{-12+3}{4}=-\frac{9}{4}.$$

2. $$f(x)=\sqrt{5x^2-2x}, \quad x_0=2.$$

   По правилу производной корня:

   $$f'(x)=\frac{(5x^2-2x)’}{2\sqrt{5x^2-2x}}=\frac{10x-2}{2\sqrt{5x^2-2x}}.$$

   Подставим $$x=2$$:

   $$f'(2)=\frac{20-2}{2\sqrt{20-4}}=\frac{18}{2\sqrt{16}}=\frac{18}{8}=\frac{9}{4}.$$

3. $$f(x)=(x^2-2x+3)\cos x, \quad x_0=0.$$

   По правилу производной произведения:

   $$f'(x)=(2x-2)\cos x-(x^2-2x+3)\sin x.$$

   Подставим $$x=0$$:

   $$f'(0)=(0-2)\cdot 1-(0-0+3)\cdot 0=-2.$$

4. $$f(x)=\frac{1+\sin x}{4-\sin x}, \quad x_0=0.$$

   По формуле производной частного:

   $$f'(x)=\frac{\cos x(4-\sin x)-(1+\sin x)(-\cos x)}{(4-\sin x)^2}.$$

   Подставим $$x=0$$:

   $$f'(0)=\frac{1\cdot(4-0)-(1+0)\cdot(-1)}{(4-0)^2}=\frac{4+1}{16}=\frac{5}{16}.$$

5. $$f(x)=\cos 2x-\sin\frac{\pi}{3}, \quad x_0=\frac{\pi}{2}.$$

   Так как $$\sin\frac{\pi}{3}$$ — постоянная, то

   $$f'(x)=-2\sin 2x.$$

   Подставим $$x=\frac{\pi}{2}$$:

   $$f’\left(\frac{\pi}{2}\right)=-2\sin\pi=0.$$

6. $$f(x)=\frac{\ln x}{x}, \quad x_0=1.$$

   По формуле производной частного:

   $$f'(x)=\frac{\frac{1}{x}\cdot x-\ln x\cdot 1}{x^2}=\frac{1-\ln x}{x^2}.$$

   Подставим $$x=1$$:

   $$f'(1)=\frac{1-\ln 1}{1^2}=1.$$

7. $$f(x)=e^{2x-1}, \quad x_0=\frac{1}{2}.$$

   По правилу производной сложной функции:

   $$f'(x)=2e^{2x-1}.$$

   Подставим $$x=\frac{1}{2}$$:

   $$f’\left(\frac{1}{2}\right)=2e^{2\cdot\frac{1}{2}-1}=2e^0=2.$$

Ответ

$$-\frac{9}{4};\ \frac{9}{4};\ -2;\ \frac{5}{16};\ 0;\ 1;\ 2.$$