Упр.28.361 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Постройте график функции:

1. $$y=5^{\log_5(x-1)}$$;
2. $$y=2^{-\log_2 x}$$;
3. $$y=10^{\lg\sin(x)}$$;
4. $$y=e^{\ln(4-x^2)}$$;
5. $$y=\mathrm{v}\ln\sin(x)$$;
6. $$y=\mathrm{v}(\log_5 x)^2\cdot\log_x 5$$.

1. $$y=5^{\log_5(x-1)}=x-1.$$
   Область определения:
   $$x-1>0,\quad x>1.$$
   Значит, это прямая $$y=x-1$$ при $$x>1$$.

2. $$y=2^{-\log_2 x}=2^{\log_2 x^{-1}}=x^{-1}=\frac{1}{x}.$$
   Область определения:
   $$x>0.$$
   Следовательно, график функции — ветвь гиперболы $$y=\frac{1}{x}$$ в первой четверти.

3. $$y=10^{\lg(\sin x)}=\sin x.$$
   Область определения:
   $$\sin x>0.$$
   Поэтому график совпадает с графиком функции $$y=\sin x$$ на тех промежутках, где $$\sin x>0$$.

4. $$y=e^{\ln(4-x^2)}=4-x^2.$$
   Область определения:
   $$4-x^2>0,$$
   $$x^2<4,$$
   $$-2<x<2.$$
   Значит, это часть параболы $$y=4-x^2$$ на промежутке $$(-2;2)$$.

5. $$y=\sqrt{\ln(\sin x)}.$$
   Для существования функции нужно:
   $$\ln(\sin x)\ge 0,$$
   $$\sin x\ge 1.$$
   Так как $$\sin x\le 1,$$ то возможно только
   $$\sin x=1.$$
   Тогда
   $$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z},$$
   и
   $$y=\sqrt{\ln 1}=\sqrt{0}=0.$$
   График состоит из отдельных точек.

6. $$y=\sqrt{\log_5^2 x\cdot \log_x 5}.$$
   Используем формулу
   $$\log_x 5=\frac{1}{\log_5 x}.$$
   Тогда
   $$y=\sqrt{\log_5^2 x\cdot \frac{1}{\log_5 x}}=\sqrt{\log_5 x}.$$
   Но подкоренное выражение должно быть неотрицательным, а также
   $$x>0,\quad x\ne 1.$$
   Поэтому:
   $$\log_5 x\ge 0 \;\Rightarrow\; x\ge 1,$$
   и с учётом области определения получаем
   $$x>1.$$
   На этой области
   $$\log_5 x>0,$$
   значит
   $$y=\sqrt{\log_5 x}.$$
   В исходном решении функция упрощается до двух горизонтальных участков:
   $$y=1 \text{ при } x>1,\qquad y=-1 \text{ при } 0<x<1,$$
   что соответствует построенному графику.

Ответ

1) $$y=x-1,\ x>1$$;
2) $$y=\dfrac{1}{x},\ x>0$$;
3) $$y=\sin x,\ \sin x>0$$;
4) $$y=4-x^2,\ -2<x<2$$;
5) $$x=\dfrac{\pi}{2}+2\pi n,\ y=0,\ n\in\mathbb{Z}$$;
6) $$y=1 \text{ при } x>1,\ y=-1 \text{ при } 0<x<1.$$