Упр.28.351 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) 8^(-1/x)=1/4; 4) (6/5)^x·(25/36)^x=125/216;
2) (0,75)^(x+1)=16/9; 5) 2^x·3^(2x)·5^x=90^(3x-7);
3) v(125^(x-1))=(25^(2-x))^(1/3); 6) 8·7^(2x^2-x)-7·8^(2x^2-x)=0.

1. $$8^{-\frac{1}{x}}=\frac14$$
   
   Представим числа в виде степеней двойки:
   $$2^{-3\cdot\frac{1}{x}}=2^{-2}$$
   $$-\frac{3}{x}=-2$$
   $$\frac{3}{x}=2$$
   $$2x=3$$
   $$x=\frac32$$
2. $$(0{,}75)^{x+1}=\frac{16}{9}$$
   
   Преобразуем основание и правую часть:
   $$ \left(\frac34\right)^{x+1}=\left(\frac34\right)^{-2} $$
   $$x+1=-2$$
   $$x=-3$$
3. $$\sqrt{125^{x-1}}=\sqrt[3]{25^{2-x}}$$
   
   Запишем всё через основание $5$:
   $$ 5^{\frac{3(x-1)}{2}}=5^{\frac{2(2-x)}{3}} $$
   $$\frac{3(x-1)}{2}=\frac{2(2-x)}{3}$$
   $$9(x-1)=4(2-x)$$
   $$9x-9=8-4x$$
   $$13x=17$$
   $$x=\frac{17}{13}$$
4. $$ \left(\frac65\right)^x\cdot\left(\frac{25}{36}\right)^x=\frac{125}{216} $$
   
   Соберём множители:
   $$ \left(\frac65\cdot\frac{25}{36}\right)^x=\frac{125}{216} $$
   $$ \left(\frac56\right)^x=\left(\frac56\right)^3 $$
   $$x=3$$
5. $$ 2^x\cdot 3^{2x}\cdot 5^x=90^{3x-7} $$
   
   Преобразуем левую часть:
   $$ 2^x\cdot 3^{2x}\cdot 5^x=(2\cdot 3^2\cdot 5)^x=90^x $$
   Тогда
   $$ 90^x=90^{3x-7} $$
   $$x=3x-7$$
   $$2x=7$$
   $$x=\frac72$$
6. $$ 8\cdot 7^{2x^2-x}-7\cdot 8^{2x^2-x}=0 $$
   
   Перенесём один член:
   $$ 8\cdot 7^{2x^2-x}=7\cdot 8^{2x^2-x} $$
   Разделим на $7\cdot 7^{2x^2-x}$:
   $$ \left(\frac87\right)^{2x^2-x}=\frac78 $$
   $$ \left(\frac78\right)^{2x^2-x}= \frac78 $$
   Значит,
   $$ 2x^2-x=1 $$
   $$ 2x^2-x-1=0 $$
   $$ (2x+1)(x-1)=0 $$
   $$x=-\frac12 \text{ или } x=1$$

Ответ

1) $$\frac32$$; 2) $$-3$$; 3) $$\frac{17}{13}$$; 4) $$3$$; 5) $$\frac72$$; 6) $$-\frac12,\ 1$$.