Упр.28.344 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) sin(60°+x)cos(x-30°)=1; 3) sin(6x)cos(4x)=sin(10x)cos(8x);
2) cos(6x)cos(x)=cos(5x); 4) 4sin^2(2x)=3-2sin(6x)sin(2x).

1. $$\sin(60^\circ+x)\cos(x-30^\circ)=1$$

   Используем формулу произведения в сумму:
   $$\sin A\cos B=\frac12\bigl(\sin(A+B)+\sin(A-B)\bigr).$$

   Тогда
   $$ \sin(60^\circ+x)\cos(x-30^\circ) =\frac12\bigl(\sin(30^\circ+2x)+\sin90^\circ\bigr). $$

   Получаем:
   $$ \frac12\bigl(\sin(30^\circ+2x)+1\bigr)=1, $$
   $$ \sin(30^\circ+2x)=1. $$

   Тогда
   $$ 30^\circ+2x=90^\circ+360^\circ n,\quad n\in\mathbb Z, $$
   $$ 2x=60^\circ+360^\circ n, $$
   $$ x=30^\circ+180^\circ n,\quad n\in\mathbb Z. $$

2. $$\cos6x\cos x=\cos5x$$

   Преобразуем левую часть:
   $$ \cos6x\cos x=\frac12(\cos7x+\cos5x). $$

   Тогда
   $$ \frac12(\cos7x+\cos5x)=\cos5x, $$
   $$ \cos7x-\cos5x=0. $$

   Используем формулу разности косинусов:
   $$ \cos7x-\cos5x=-2\sin6x\sin x. $$

   Значит,
   $$ \sin6x\sin x=0. $$
   Отсюда
   $$ \sin x=0 \quad \text{или} \quad \sin6x=0. $$

   В обоих случаях получаем
   $$ x=\pi n,\quad n\in\mathbb Z. $$

3. $$\sin6x\cos4x=\sin10x\cos8x$$

   Преобразуем произведения в суммы:
   $$ \sin6x\cos4x=\frac12(\sin10x+\sin2x), $$
   $$ \sin10x\cos8x=\frac12(\sin18x+\sin2x). $$

   Тогда
   $$ \frac12(\sin10x+\sin2x)=\frac12(\sin18x+\sin2x), $$
   $$ \sin10x-\sin18x=0. $$

   Используем формулу разности синусов:
   $$ \sin10x-\sin18x=-2\cos14x\sin4x. $$

   Значит,
   $$ \sin4x\cos14x=0. $$
   Отсюда
   $$ \sin4x=0 \quad \text{или} \quad \cos14x=0. $$

   Поэтому
   $$ x=\frac{\pi n}{4} $$
   или
   $$ 14x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z, $$
   $$ x=\frac{\pi}{28}+\frac{\pi n}{14},\quad n\in\mathbb Z. $$

4. $$4\sin^2(2x)=3-2\sin6x\sin2x$$

   Используем формулу:
   $$ 2\sin A\sin B=\cos(A-B)-\cos(A+B). $$

   Тогда
   $$ 2\sin6x\sin2x=\cos4x-\cos8x, $$
   и уравнение принимает вид
   $$ 4\sin^2(2x)=3-\bigl(\cos4x-\cos8x\bigr). $$

   Так как
   $$ 4\sin^2(2x)=2-2\cos4x, $$
   получаем
   $$ 2-2\cos4x=3-\cos4x+\cos8x, $$
   $$ 1+\cos4x+\cos8x=0. $$

   Положим
   $$ \cos8x=2\cos^2 4x-1. $$
   Тогда
   $$ 1+\cos4x+2\cos^2 4x-1=0, $$
   $$ \cos4x\,(2\cos4x+1)=0. $$

   Отсюда
   $$ \cos4x=0 \quad \text{или} \quad \cos4x=-\frac12. $$

   1) Если $$\cos4x=0,$$ то
   $$ 4x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z, $$
   $$ x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{4}. $$

   2) Если $$\cos4x=-\frac12,$$ то
   $$ 4x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z, $$
   $$ x=\pm\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{2}. $$

Ответ

1) $$x=30^\circ+180^\circ n,\ n\in\mathbb Z;$$
2) $$x=\pi n,\ n\in\mathbb Z;$$
3) $$x=\frac{\pi n}{4}\ \text{или}\ x=\frac{\pi}{28}+\frac{\pi n}{14},\ n\in\mathbb Z;$$
4) $$x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{4}\ \text{или}\ x=\pm\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb Z.$$