Упр.28.340 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)
- Решите уравнение:
1) $$3\sin(x)-\sqrt{3}\cos(x)=0$$;
2) $$3\sin^2(x)-2\sin(x)\cos(x)-\cos^2(x)=0$$;
3) $$4\sin^2(x)+\sin(2x)=3$$;
4) $$\sin(x)-4\cos(x)=1$$;
5) $$6\sin^2(x)+2\sin(2x)+4\cos^2(x)=3$$;
6) $$\frac{2\sin(x)-\cos(x)}{5\sin(x)-4\cos(x)}=\frac{1}{3}$$;
7) $$8\sin^2(x)+4\sin^2(2x)+8\cos(2x)=5$$;
8) $$\sin^2(x)=\cos^4\left(\frac{x}{2}\right)-\sin^4\left(\frac{x}{2}\right)$$.
$$3\sin x-\sqrt{3}\cos x=0$$
$$3\tg x=\sqrt{3}$$
$$\tg x=\frac{\sqrt{3}}{3}$$
$$x=\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$$$3\sin^2 x-2\sin x\cos x-\cos^2 x=0$$
$$3\tg^2 x-2\tg x-1=0$$
$$D=4+12=16$$
$$\tg x_1=\frac{2-4}{6}=-\frac13,\quad \tg x_2=\frac{2+4}{6}=1$$
$$x=-\arctg\frac13+\pi n,\quad x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$$$4\sin^2 x+\sin 2x=3$$
$$4\sin^2 x+2\sin x\cos x=3$$
$$4\sin^2 x+2\sin x\cos x-3(\sin^2 x+\cos^2 x)=0$$
$$\sin^2 x+2\sin x\cos x-3\cos^2 x=0$$
$$\tg^2 x+2\tg x-3=0$$
$$D=4+12=16$$
$$\tg x_1=-3,\quad \tg x_2=1$$
$$x=-\arctg 3+\pi n,\quad x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$$$\sin x-4\cos x=1$$
$$2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}-4\left(\cos^2\frac{x}{2}-\sin^2\frac{x}{2}\right)=\sin^2\frac{x}{2}+\cos^2\frac{x}{2}$$
$$3\sin^2\frac{x}{2}+2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}-5\cos^2\frac{x}{2}=0$$
$$3\tg^2\frac{x}{2}+2\tg\frac{x}{2}-5=0$$
$$D=4+60=64$$
$$\tg\frac{x}{2}=-\frac53,\quad \tg\frac{x}{2}=1$$
$$x=-2\arctg\frac53+2\pi n,\quad x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$$$6\sin^2 x+2\sin 2x+4\cos^2 x=3$$
$$6\sin^2 x+4\sin x\cos x+4\cos^2 x=3$$
$$3\sin^2 x+4\sin x\cos x+\cos^2 x=0$$
$$3\tg^2 x+4\tg x+1=0$$
$$D=16-12=4$$
$$\tg x_1=-1,\quad \tg x_2=-\frac13$$
$$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad x=-\arctg\frac13+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$$$\frac{2\sin x-\cos x}{5\sin x-4\cos x}=\frac13$$
$$3(2\sin x-\cos x)=5\sin x-4\cos x$$
$$6\sin x-3\cos x=5\sin x-4\cos x$$
$$\sin x+\cos x=0$$
$$\tg x=-1$$
$$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$$$8\sin^2 x+4\sin^2 2x+8\cos 2x=5$$
$$8\sin^2 x+16\sin^2 x\cos^2 x+8(\cos^2 x-\sin^2 x)=5$$
$$5\sin^2 x-16\sin^2 x\cos^2 x-3\cos^2 x=0$$
$$5\sin^2 x-16\sin^2 x(1-\sin^2 x)-3(1-\sin^2 x)=0$$
$$16\sin^4 x-8\sin^2 x-3=0$$
$$D=8^2+4\cdot16\cdot3=256$$
$$\sin^2 x_1=-\frac14,\quad \sin^2 x_2=\frac34$$
$$\sin^2 x_1\notin[0,1],\quad \sin x=\pm\frac{\sqrt3}{2}$$
$$x=\pm\frac{\pi}{3}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$$$\sin^2 x=\cos^4\frac{x}{2}-\sin^4\frac{x}{2}$$
$$\sin^2 x=\left(\cos^2\frac{x}{2}-\sin^2\frac{x}{2}\right)\left(\cos^2\frac{x}{2}+\sin^2\frac{x}{2}\right)$$
$$\sin^2 x=\cos x$$
$$1-\cos^2 x=\cos x$$
$$\cos^2 x+\cos x-1=0$$
$$D=1+4=5$$
$$\cos x=\frac{-1\pm\sqrt5}{2}$$
Так как $$\cos x\in[-1,1],$$ подходит только
$$\cos x=\frac{\sqrt5-1}{2}.$$
Тогда
$$x=\pm\arccos\frac{\sqrt5-1}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
Ответ
1) $$x=\frac{\pi}{6}+\pi n$$
2) $$x=-\arctg\frac13+\pi n,\ \frac{\pi}{4}+\pi n$$
3) $$x=-\arctg 3+\pi n,\ \frac{\pi}{4}+\pi n$$
4) $$x=-2\arctg\frac53+2\pi n,\ \frac{\pi}{2}+2\pi n$$
5) $$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\ -\arctg\frac13+\pi n$$
6) $$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n$$
7) $$x=\pm\frac{\pi}{3}+\pi n$$
8) $$x=\pm\arccos\frac{\sqrt5-1}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
