Упр.28.333 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Докажите тождество:

1. $$\sin(2a)+2\sin\left(\frac{3\pi}{4}-a\right)\cos\left(\frac{3\pi}{4}+a\right)=-1$$;
2. $$\sin(8a)\sin(4a)+\cos(7a)\cos(5a)=\cos(3a)\cos(a)$$.

1. Преобразуем произведение в сумму:
   $$2\sin\left(\frac{3\pi}{4}-a\right)\cos\left(\frac{3\pi}{4}+a\right)=\sin\left(\frac{3\pi}{2}\right)+\sin(-2a).$$

   Тогда
   $$\sin 2a+2\sin\left(\frac{3\pi}{4}-a\right)\cos\left(\frac{3\pi}{4}+a\right) =\sin 2a+\sin\frac{3\pi}{2}+\sin(-2a).$$

   Так как $$\sin(-2a)=-\sin 2a,$$ получаем
   $$\sin 2a+\sin\frac{3\pi}{2}-\sin 2a=\sin\frac{3\pi}{2}=-1.$$

   Тождество доказано.

2. Используем формулы произведения в сумму:
   $$\sin 8a\sin 4a=\frac12\left(\cos 4a-\cos 12a\right),$$
   $$\cos 7a\cos 5a=\frac12\left(\cos 12a+\cos 2a\right).$$

   Складываем:
   $$\sin 8a\sin 4a+\cos 7a\cos 5a =\frac12\left(\cos 4a-\cos 12a+\cos 12a+\cos 2a\right) =\frac12\left(\cos 4a+\cos 2a\right).$$

   Применим формулу суммы косинусов:
   $$\frac12\left(\cos 4a+\cos 2a\right)=\cos 3a\cos a.$$

   Следовательно, тождество доказано.

Ответ

1) $$\sin 2a+2\sin\left(\frac{3\pi}{4}-a\right)\cos\left(\frac{3\pi}{4}+a\right)=-1;$$
2) $$\sin 8a\sin 4a+\cos 7a\cos 5a=\cos 3a\cos a.$$