Упр.28.332 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

1) (sin(3a)/sin(5a)-cos(3a)/cos(5a))·(sin(7a)-sin(3a))/(cos(4a)-1);
2) (1-cos(2a-п)+cos(4a+2п)-sin(3п/2-6a))/(sin(п/2+2a)+1-2sin^2(2п-2a));
3) cos^2(5п/12+a/2)-sin^2(п/12+a/2).

Подробный ответ

$$\left(\frac{\sin 3a}{\sin 5a}-\frac{\cos 3a}{\cos 5a}\right)\cdot \frac{\sin 7a-\sin 3a}{\cos 4a-1}$$
Приведём к общему знаменателю в первой скобке:
$$\frac{\sin 3a\cos 5a-\cos 3a\sin 5a}{\sin 5a\cos 5a}=\frac{\sin(3a-5a)}{\sin 5a\cos 5a}=\frac{-\sin 2a}{\sin 5a\cos 5a}.$$
Разность синусов:
$$\sin 7a-\sin 3a=2\sin 2a\cos 5a.$$
А также
$$\cos 4a-1=2\cos^2 2a-2\sin^2 2a-2\cos^2 2a-2\sin^2 2a=-2\sin^2 2a.$$
Тогда
$$ \frac{-\sin 2a}{\sin 5a\cos 5a}\cdot \frac{2\sin 2a\cos 5a}{-2\sin^2 2a} =\frac{1}{\sin 5a}. $$
$$\frac{1-\cos(2a-\pi)+\cos(4a+2\pi)-\sin\left(\frac{3\pi}{2}-6a\right)}{\sin\left(\frac{\pi}{2}+2a\right)+1-2\sin^2(2\pi-2a)}$$
Используем формулы приведения:
$$\cos(2a-\pi)=-\cos 2a,\quad \cos(4a+2\pi)=\cos 4a,$$
$$\sin\left(\frac{3\pi}{2}-6a\right)=-\cos 6a,\quad \sin\left(\frac{\pi}{2}+2a\right)=\cos 2a,$$
$$\sin(2\pi-2a)=-\sin 2a.$$
Тогда
$$ \frac{1+\cos 2a+\cos 4a+\cos 6a}{\cos 2a+1-2\sin^2 2a}. $$
Преобразуем:
$$1-2\sin^2 2a=\cos 4a,$$
значит знаменатель равен
$$\cos 2a+\cos 4a.$$
Числитель:
$$ 1+\cos 2a+\cos 4a+\cos 6a =(1+\cos 6a)+(\cos 2a+\cos 4a) =2\cos^2 3a+2\cos 3a\cos a. $$
Тогда
$$ \frac{2\cos^2 3a+2\cos 3a\cos a}{\cos 2a+\cos 4a} =\frac{2\cos 3a(\cos 3a+\cos a)}{2\cos 3a\cos a} =2\cos 2a. $$
$$\cos^2\left(\frac{5\pi}{12}+\frac{a}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{\pi}{12}+\frac{a}{2}\right)$$
Используем формулы:
$$\cos^2 x=\frac{1+\cos 2x}{2},\qquad \sin^2 x=\frac{1-\cos 2x}{2}.$$
Тогда
$$ \frac{1+\cos\left(\frac{5\pi}{6}+a\right)}{2} -\frac{1-\cos\left(\frac{\pi}{6}+a\right)}{2} =\frac{\cos\left(\frac{5\pi}{6}+a\right)+\cos\left(\frac{\pi}{6}+a\right)}{2}. $$
По формуле суммы косинусов:
$$ \cos u+\cos v=2\cos\frac{u+v}{2}\cos\frac{u-v}{2}, $$
получаем
$$ \frac{2\cos\left(\frac{\pi}{2}+a\right)\cos\frac{\pi}{3}}{2} =\cos\left(\frac{\pi}{2}+a\right)\cdot \frac12 =-\frac12\sin a. $$