Упр.28.330 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1. Дано: $$\sin(a)+\cos(a)=\frac{1}{5}$$. Найдите $$\tg\left(\frac{a}{2}\right)$$.

Обозначим $$t=\tg\frac{a}{2}.$$ Тогда

$$\sin a=\frac{2t}{1+t^2}, \qquad \cos a=\frac{1-t^2}{1+t^2}.$$

По условию

$$\sin a+\cos a=\frac15.$$

Подставим выражения через $$t$$:

$$\frac{2t}{1+t^2}+\frac{1-t^2}{1+t^2}=\frac15.$$

Умножим на $$5(1+t^2)$$:

$$5(2t+1-t^2)=1+t^2.$$

$$10t+5-5t^2=1+t^2.$$

$$6t^2-10t-4=0.$$

Разделим на $$2$$:

$$3t^2-5t-2=0.$$

Решим квадратное уравнение:

$$D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=25+24=49.$$

$$t=\frac{5\pm 7}{6}.$$

Получаем:

$$t_1=2,\qquad t_2=-\frac13.$$

Значит,

$$\tg\frac{a}{2}=2 \quad \text{или} \quad \tg\frac{a}{2}=-\frac13.$$

Ответ

$$-\frac13;\ 2$$