Упр.28.328 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

1) cos(a)cos(2a)cos(4a)cos(8a)cos(16a)cos(32a)=sin(64a)/(64sin(a));
2) cos(п/15)cos(2п/15)cos(3п/15)·…·cos(7п/15)=1/128.

Подробный ответ

1) Используем формулу

$$\sin 2x=2\sin x\cos x.$$

Тогда последовательно получаем:

$$ \begin{aligned} 64\sin a\cos a\cos 2a\cos 4a\cos 8a\cos 16a\cos 32a &=32\sin 2a\cos 2a\cos 4a\cos 8a\cos 16a\cos 32a \\ &=16\sin 4a\cos 4a\cos 8a\cos 16a\cos 32a \\ &=8\sin 8a\cos 8a\cos 16a\cos 32a \\ &=4\sin 16a\cos 16a\cos 32a \\ &=2\sin 32a\cos 32a \\ &=\sin 64a. \end{aligned} $$

Делим обе части на $$64\sin a$$:

$$\cos a\cos 2a\cos 4a\cos 8a\cos 16a\cos 32a=\frac{\sin 64a}{64\sin a}.$$

2) Рассмотрим произведение

$$P=\cos\frac{\pi}{15}\cos\frac{2\pi}{15}\cos\frac{3\pi}{15}\cdots\cos\frac{7\pi}{15}.$$

Умножим его на $$128\sin\frac{\pi}{15}$$ и последовательно применим формулу $$2\sin x\cos x=\sin 2x$$:

$$ \begin{aligned} 128\sin\frac{\pi}{15}\,P &=64\sin\frac{2\pi}{15}\cos\frac{2\pi}{15}\cos\frac{3\pi}{15}\cdots\cos\frac{7\pi}{15} \\ &=32\sin\frac{4\pi}{15}\cos\frac{3\pi}{15}\cos\frac{4\pi}{15}\cdots\cos\frac{7\pi}{15} \\ &=16\sin\frac{8\pi}{15}\cos\frac{3\pi}{15}\cos\frac{5\pi}{15}\cos\frac{6\pi}{15}\cos\frac{7\pi}{15} \\ &=16\sin\left(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{30}\right)\cos\frac{3\pi}{15}\cos\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{6}\right)\cos\frac{6\pi}{15}\cos\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{30}\right) \\ &=16\sin\frac{3\pi}{15}\cos\frac{\pi}{30}\cos\frac{3\pi}{15}\sin\frac{\pi}{6}\cos\frac{6\pi}{15}\sin\frac{\pi}{30} \\ &=4\sin\frac{3\pi}{15}\cos\frac{6\pi}{15}\cdot\frac12 \\ &=\sin\frac{\pi}{15}\sin\frac{12\pi}{15}. \end{aligned} $$

Так как $$\sin\frac{12\pi}{15}=\sin\left(\pi-\frac{12\pi}{15}\right)=\sin\frac{3\pi}{15},$$ то получаем

$$128\sin\frac{\pi}{15}\,P=\sin\frac{\pi}{15}\sin\frac{12\pi}{15}.$$

Следовательно,

$$P=\frac{1}{128}.$$