Упр.28.327 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1. Докажите, что $$\cos(20^\circ)\cos(40^\circ)\cos(80^\circ)=\frac{1}{8}$$.

Используем формулу двойного угла:

$$\sin 2x=2\sin x\cos x.$$

Тогда

$$\cos 20^\circ\cos 40^\circ\cos 80^\circ=\frac{8\sin 20^\circ\cos 20^\circ\cos 40^\circ\cos 80^\circ}{8\sin 20^\circ}.$$

Преобразуем числитель:

$$8\sin 20^\circ\cos 20^\circ\cos 40^\circ\cos 80^\circ$$

$$=4\sin 40^\circ\cos 40^\circ\cos 80^\circ$$

$$=2\sin 80^\circ\cos 80^\circ$$

$$=\sin 160^\circ.$$

Тогда

$$\cos 20^\circ\cos 40^\circ\cos 80^\circ=\frac{\sin 160^\circ}{8\sin 20^\circ}.$$

Так как $$\sin 160^\circ=\sin(180^\circ-20^\circ)=\sin 20^\circ,$$ получаем

$$\cos 20^\circ\cos 40^\circ\cos 80^\circ=\frac{1}{8}.$$

Ответ

$$\frac{1}{8}$$