Упр.28.325 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Дано: $$\operatorname{tg}\frac{x}{4}=0{,}4$$. Найдите $$\operatorname{tg}\left(45^\circ+\frac{x}{2}\right)$$.

Используем формулу двойного угла для тангенса:

$$\tg \frac{x}{2}=\frac{2\tg \frac{x}{4}}{1-\tg^2 \frac{x}{4}}.$$

Так как $$\tg \frac{x}{4}=0{,}4,$$ то

$$\tg \frac{x}{2}=\frac{2\cdot 0{,}4}{1-0{,}4^2}=\frac{0{,}8}{1-0{,}16}=\frac{0{,}8}{0{,}84}=\frac{20}{21}.$$

Теперь найдём

$$\tg \left(45^\circ+\frac{x}{2}\right)=\frac{\tg 45^\circ+\tg \frac{x}{2}}{1-\tg 45^\circ\cdot \tg \frac{x}{2}}.$$

Подставим значения:

$$\tg \left(45^\circ+\frac{x}{2}\right)=\frac{1+\frac{20}{21}}{1-1\cdot \frac{20}{21}}=\frac{\frac{41}{21}}{\frac{1}{21}}=41.$$

Ответ

$$41$$